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Lignes de niveau.

Posté par
matheux14
25-07-20 à 12:14

Bonjour ,

Merci d'avance.

Soit A et B deux points distincts du plan.

Déterminer et construire l'ensemble (E) des points M du plan tels que b: MA²+MB²=AB²

Réponses

M ∈ (E) équivaut à MA²+MB²=AB²

Soit I le milieu de AB.

Donc  M ∈ (E) équivaut à  (\vec{MI}+\vec{IA})²+(\vec{MI}+\vec{IB})²=\vec{AB}

\vec{MI}²+2\vec{MI}.\vec{IA}+\vec{IA}²+\vec{MI}²+2\vec{MI}.\vec{IB}+\vec{IB}²=\vec{AB}

\vec{MI}²+2\vec{MI}(\vec{IA}+\vec{IB})+\vec{IA}²+\vec{IB}²=\vec{AB}

\vec{MI}²+\vec{IA}²+\vec{IB}²=\vec{AB}² car \vec{IA}+\vec{IB}=\vec{0}

C'est là que je bloque..

Posté par
Leile
re : Lignes de niveau. 25-07-20 à 12:27

bonjour,

dans   MA²+MB²=AB², décompose plutôt   AB  en introduisant M ...

(et pour te guider, pense à pythagore!).

Posté par
Leile
re : Lignes de niveau. 25-07-20 à 12:38

tu peux aussi poursuivre sur ta propre piste,
en remarquant que
||\vec{IA}||=| |\vec{IB}||=1/2 ||\vec{AB}||

malou edit  > * la notation de la norme est la double barre *

Posté par
matheux14
re : Lignes de niveau. 25-07-20 à 13:27

||\vec{IA}|| =| |\vec{IB}||=1/2 ||\vec{AB}||

Donc ||\vec{IA}||² =| |\vec{IB}||²=1/2| |\vec{AB}||²

malou edit  > * notation de la norme rectifiée *

Posté par
co11
re : Lignes de niveau. 25-07-20 à 14:19

Bonjour,
attention : IA = (1/2) AB donc IA² = (1/4)AB²

Posté par
malou Webmaster
re : Lignes de niveau. 25-07-20 à 14:27

bonjour à tous
....et 1+1=2
....bon, ben maintenant il peut terminer.....

Posté par
carpediem
re : Lignes de niveau. 25-07-20 à 14:31

salut

y a-t-il des flèches de vecteurs dans l'énoncé :

Citation :
Déterminer et construire l'ensemble (E) des points M du plan tels que b: MA²+MB²=AB²
alors pourquoi les conserves-tu dans ton calcul en latex (tu peux les mettre une fois quand tu développes mais ensuite pourquoi ne pas (se) simplifier (la vie) ?

en particulier comment écrire plus simplement \| \vec {AB} \| ?

Posté par
matheux14
re : Lignes de niveau. 25-07-20 à 14:45

Ok ,

M ∈ (E) équivaut à MA²+MB²=AB²

Soit I le milieu de AB.

M ∈ (E) équivaut à  (\vec{MI}+\vec{IA})²+(\vec{MI}+\vec{IB})²=\vec{AB}

\vec{MI}²+2\vec{MI}.\vec{IA}+\vec{IA}²+\vec{MI}²+2\vec{MI}.\vec{IB}+\vec{IB}²=\vec{AB}

\vec{MI}²+2\vec{MI}(\vec{IA}+\vec{IB})+\vec{IA}²+\vec{IB}²=\vec{AB}

\vec{MI}²+\vec{IA}²+\vec{IB}²=\vec{AB}² car \vec{IA}+\vec{IB}=\vec{0}

Or ||\vec{IA}|| =| |\vec{IB}||=1/2 ||\vec{AB}||

Donc ||\vec{IA}||² =| |\vec{IB}||²=1/4| |\vec{AB}||²

D'où M ∈ (E) équivaut à \vec{MI}²+\dfrac{1}{4}\vec{AB}²=\vec{AB}²

\vec{MI}²=\dfrac{1}{4}\vec{AB}²

Donc MI=\sqrt{\dfrac{AB²}{4}}

MI=\dfrac{AB}{2}

(E) est donc le cercle de centre I et de rayon \dfrac{AB}{2} soit le cercle de diamètre AB.

Lignes de niveau.

Merci

Posté par
malou Webmaster
re : Lignes de niveau. 25-07-20 à 14:50

matheux14 @ 25-07-2020 à 14:45

Ok ,

M ? (E) équivaut à MA²+MB²=AB²

Soit I le milieu de AB.

M ? (E) équivaut à (\vec{MI}+\vec{IA})²+(\vec{MI}+\vec{IB})²={\red{\vec{AB}}}

{\red{\vec{MI}²}}+2\vec{MI}.\vec{IA}+\vec{IA}²+{\red{\vec{MI}²}}+2\vec{MI}.\vec{IB}+\vec{IB}²={\red{\vec{AB}}}

\vec{MI}²+2\vec{MI}(\vec{IA}+\vec{IB})+\vec{IA}²+\vec{IB}²={\red{\vec{AB}}}

\vec{MI}²+\vec{IA}²+\vec{IB}²=\vec{AB}² car \vec{IA}+\vec{IB}=\vec{0}

Or ||\vec{IA}|| =| |\vec{IB}||=1/2 ||\vec{AB}||

Donc ||\vec{IA}||² =| |\vec{IB}||²=1/4| |\vec{AB}||²

D'où M ? (E) équivaut à \vec{MI}²+\dfrac{1}{4}\vec{AB}²=\vec{AB}²

\vec{MI}²=\dfrac{1}{4}\vec{AB}² chez moi 1-1/4=3/4
Donc MI=\sqrt{\dfrac{AB²}{4}}

MI=\dfrac{AB}{2}

(E) est donc le cercle de centre I et de rayon \dfrac{AB}{2} soit le cercle de diamètre AB.

Lignes de niveau.

Merci


dit autrement 2 erreurs qui se compensent

Posté par
co11
re : Lignes de niveau. 25-07-20 à 15:23

Citation :
....et 1+1=2
  
effectivement, je ne l'avais pas vue celle-là

Posté par
matheux14
re : Lignes de niveau. 25-07-20 à 15:37

Ok ,

Du coup MI=\dfrac{\sqrt{3}AB}{4}

Posté par
malou Webmaster
re : Lignes de niveau. 25-07-20 à 16:06

non, parce que tu n'as pas rectifié les erreurs au dessus...relis ce que j'ai noté à 14:50

Posté par
Leile
re : Lignes de niveau. 25-07-20 à 16:06

matheux14 @ 25-07-2020 à 15:37

Ok ,

Du coup MI=\dfrac{\sqrt{3}AB}{4}


non, regarde ce que malou t'as mis en rouge, et corrige toi...

au final tu dois obtenir
2MI² +  IA²  +  IB²   =   AB²
avec   IA² =  AB²/4
et   IB²   =  AB² /4

ca donne : ??

(et non  :  \vec{MI}²+\dfrac{1}{4}\vec{AB}²=\vec{AB}²)

Posté par
Leile
re : Lignes de niveau. 25-07-20 à 16:08

coucou malou,
merci d'avoir pris la main sur ce topic : j'ai dû m'absenter.
Bonne journée.

Posté par
malou Webmaster
re : Lignes de niveau. 25-07-20 à 16:09

pas de souci, tu peux reprendre

Posté par
matheux14
re : Lignes de niveau. 25-07-20 à 18:14

Donc 2MI²+2AB²/4=AB²

2MI²+AB²/2=AB²

2MI²=AB²-AB²/2

2MI²=AB²/2

MI=AB²/4

MI=AB/2

Posté par
malou Webmaster
re : Lignes de niveau. 25-07-20 à 18:17

tu nous testes ?

MI²=AB²/4 avec le carré, c'est mieux ....

MI=AB/2

oui !

Posté par
malou Webmaster
re : Lignes de niveau. 25-07-20 à 18:19

alors maintenant, moins habituel, mais rudement efficace sur cet exercice en particulier

Leile @ 25-07-2020 à 12:27

bonjour,

dans MA²+MB²=AB², décompose plutôt AB en introduisant M ...

(et pour te guider, pense à pythagore!).

Posté par
matheux14
re : Lignes de niveau. 25-07-20 à 18:27

Ben non , c'est juste une faute de frappe..

MA²+MB²=AB²

Équivaut à MA²+MB²=AM²+MB²

Posté par
malou Webmaster
re : Lignes de niveau. 25-07-20 à 18:44


fais ce que te dit Leile

introduis le point M dans le membre de droite AB²=\vec {AB}^2= \dots

Posté par
co11
re : Lignes de niveau. 25-07-20 à 19:36

Petite intervention :
matheux 14, dans ton premier post, tu as décomposé correctement MA² et MB² en introduisant le point I.
Tu peux faire la même chose : décomposer AB² en introduisant le point M

Posté par
Leile
re : Lignes de niveau. 25-07-20 à 19:38

il semble que matheux14 se soit absenté..

Posté par
co11
re : Lignes de niveau. 25-07-20 à 20:13

Oui, il reprendra plus tard.
Et je suis juste intervenue pour lui signaler qu'à priori il savait faire.
Mais je vous laisse, toi et malou poursuivre avec lui maintenant.

Posté par
Leile
re : Lignes de niveau. 25-07-20 à 20:15

tu peux continuer à suivre le topic, co11, pas de problème.

Posté par
co11
re : Lignes de niveau. 25-07-20 à 21:09

Merci Leile  

Cela dit, je pars demain et ne sais trop de quel ordinateur je disposerai pendant quelques jours .... Pas grave, matheux14 est entre de bonnes mains.

Et il reviendra, il s'accroche bien je trouve.

Posté par
matheux14
re : Lignes de niveau. 25-07-20 à 21:20

AB²=\vec {AB}²=(\vec{AM}+\vec{MB})²=AM²+2\vec{AM}.\vec{MB}+MB²

Donc MA²+MB²=AM²+2\vec{AM}.\vec{MB}+MB²

Mais je ne vois pas où intervient Pythagore ici..

Posté par
malou Webmaster
re : Lignes de niveau. 25-07-20 à 21:39

simplifie ton égalité
et tu vas trouver immédiatement l'ensemble cherché
(non, pas besoin de Pythagore à mon avis)

Posté par
matheux14
re : Lignes de niveau. 25-07-20 à 22:15

Est ce que je devrais utiliser I le milieu de AB ?

Sinon MA²+MB²=AM²+2\vec{AM}.\vec{MB}+MB²

Équivaut à MA²=AM²+2\vec{AM}.\vec{MB}

À part ça , je le rends encore compliqué ..

Je ne vois pas quoi faire exactement ...

Posté par
Leile
re : Lignes de niveau. 25-07-20 à 22:52

MA²=AM²+2\vec{AM}.\vec{MB}
te mène à

2\vec{AM}.\vec{MB}=0
quand un produit scalaire est-il nul ? que peux tu en déduire pour AM et MB,
et donc pour le triangle AMB ?

Posté par
matheux14
re : Lignes de niveau. 25-07-20 à 23:15

Si l'un des vecteurs est nul alors le produit scalaire est nul.

Soit AM est nuit ou soit MB est nul ou soit les deux vecteurs AM et MB sont nuls.

Le triangle AMB est donc rectangle en M..

Posté par
Leile
re : Lignes de niveau. 25-07-20 à 23:31

oui, si l'un des deux vecteurs est nul, le produit scalaire est nul, mais pas que.. Le
produit scalaire de deux vecteurs orthogonaux est nul.
donc AMB est rectangle en M
Ce que ton énoncé te disait : AM² + MB² = AB² , c'est Pythagore dans le triangle AMB rectangle en M. (voilà pourquoi je te parlais de Pythagore).
Retrouve tes souvenirs du collège avec un triangle inscrit dans un cercle, dont l'un des côtés est un diamètre..
Tu peux alors conclure que M décrit le cercle de diamètre AB..

Bonne nuit.

Posté par
matheux14
re : Lignes de niveau. 25-07-20 à 23:52

Ah oui , celle là je l'avais un peu oublié..

Merci et bonne nuit à toi aussi



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