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lignes trigonométriques
J'ai un petit problème avec les angles orientés. Merci de m'aider
ABCD est un rectangle de centre O tel que:
(AB,AD) =pi/2 et (AB,AC)=pi/3 AB,AD,AC
en vecteurs
On pose AB=a ou a est un réel positif donné
1.Quelle est la nature du triangle OAB?
2.Calculez en fonction de a les longueurs OA,AC,AD.
3.Indiquez la mesure en radians de chacun des angles géométriques BAC,DAC,AOD
puis une mesure de chacun des angles orientés correspondants (AB,AC)
(AD,AC) (OA,OD)
4.Indiquez les valeurs du sinus et du cosinus de chaque angle géométrique, puis
celles de chaque angle orienté correspondant.
1)
(AB,AC) = Pi/3
Par symétrie, on a: (BD;BA) = Pi/3
La somme des angles d'un triangle = Pi -> Dans le triangle OAB
angle(AOB) + angbe(BAO) + angle(OBA) = Pi
angle(AOB) + Pi/3 + Pi/3 = Pi
angle(AOB) = Pi/3
Le triangle OAB a ses 3 angles = Pi/3, il est équilatéral.
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2)
Le triangle OAB est équilatéral -> OA = AB = a
OA = a
Les diagonales d'un rectangle se coupent en leurs milieux -> AC
= 2.AO
AC = 2a
Dans le triangles rectangle ABC, Pythagore -> AC² = AB² + BC²
(2a)² = a² + BC²
BC² = 3a²
BC = a.V3 (avec V pour racine carrée)
Comme AD = BC comme cotés opposés d'un rectangle ->
AD = a.V3
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3)
angle(BAC) = Pi/3 Radians.
angle(DAC) = Pi/6 Radians.
angle(AOD) = Pi - (Pi/3) = (2/3)Pi Radians.
(AB,AC) = Pi/3
(AD,AC) = -Pi/6
(OA,OD) = -(2/3)Pi
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sin(BAC) = sin(Pi/3) = (1/2).V3
cos(BAC) = cos(Pi/3) = 1/2
sin(DAC) = sin(Pi/6) = 1/2
cos(DAC) = cos(Pi/6) = (1/2).V3
sin(AOD) = sin(2Pi/3) = (1/2).V3
cos(AOD) = cos(2Pi/3) = -1/2
sin(AB,AC) = sin(Pi/3) = (1/2).V3
cos((AB,AC) = cos(Pi/3) = 1/2
sin(AD,AC) = sin(-Pi/6) = -1/2
cos(AD,AC) = cos(-Pi/6) = (1/2).V3
sin(OA,OD) = sin(-2Pi/3) = -(1/2).V3
cos(OA,OD) = cos(-2Pi/3) = -1/2
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Sauf distraction.
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