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Lim x*ln(1+(1/x)) en 0+

Posté par
Rom1B
18-07-17 à 19:10

Bonjour à toutes et à tous,

J'ai un DM à faire pour ma rentrée en prépa et je n'arrive pas à traiter une des questions
on me demande de trouver:
Lim   x*ln(1+(1/x))
x0+

J'ai cherché toute mon après-midi mais pas moyen de trouver le résultat ( en traçant la courbe j'ai conjecturé que la limite en 0+ vallait 0)

Merci d'avance

Romain

Posté par
Rana
re : Lim x*ln(1+(1/x)) en 0+ 18-07-17 à 19:49

Bonsoir Rom1B,

Peut être une idée: ln(a/b)=lna -ln b.
Ça pourra t'aider.


Posté par
carpediem
re : Lim x*ln(1+(1/x)) en 0+ 18-07-17 à 20:33

salut

x \ln (1 + \frac 1 x) = \dfrac {\ln (1 + \frac 1 x) - \ln (1 + 0)} {\frac 1 x - 0}

...

Posté par
Rom1B
re : Lim x*ln(1+(1/x)) en 0+ 18-07-17 à 21:39

Merci à tous les deux d'avoir pris le temps de me répondre.

Rona, je ne comprends pas à quoi me sert l'expression, je n'ai pas de quotient dans mon logarithme...

Carpe Diem, comment arrives tu à une telle expression?

Posté par
Rom1B
re : Lim x*ln(1+(1/x)) en 0+ 18-07-17 à 21:45

Si je mets l'expression de mon ln au même dénominateur j'obtiens:

x( ln(x+1) - ln(x)) et je ne me retrouves pas spécialement plus avancé d'après moi...

Posté par
larrech
re : Lim x*ln(1+(1/x)) en 0+ 18-07-17 à 22:00

Bonsoir,

La limite de x ln(x) en zéro est un résultat du cours (croissances comparées) et l'autre n'est pas indéterminée.

Posté par
Zormuche
re : Lim x*ln(1+(1/x)) en 0+ 18-07-17 à 23:52

Bonjour

Rom1B @ 18-07-2017 à 21:39


Carpe Diem, comment arrives tu à une telle expression?


Le facteur "x" est devenu au dénominateur "1/x-0"
quant au -ln(1+0) tu conviendras qu'il ne change rien au résultat

Il fait ça (magnifiquement bien) pour faire apparaître la formule du taux d'accroissement :  \lim_{x\to a}{\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}}=f'(a)

Je ne sais pas si c'est la seule manière de le faire, mais c'est sans doute la plus élégante !

Posté par
larrech
re : Lim x*ln(1+(1/x)) en 0+ 19-07-17 à 07:21

Bonjour Zormuche

Il ne s'agit pas d'une dérivée, \frac{1}{x} tend vers l'infini pas vers 0..

Posté par
nadiasoeur123
re : Lim x*ln(1+(1/x)) en 0+ 19-07-17 à 09:57

Bonjour ;

Rana @ 18-07-2017 à 19:49

Bonsoir Rom1B,
Peut être une idée: ln(a/b)=lna -ln b.
Ça pourra t'aider.


\ln(1+\dfrac{1}{x}) = \ln(\dfrac{1+x}{x}) = \ln(1+x) - \ln(x)

donc : x\ln(1+\dfrac{1}{x}) = x\ln(\dfrac{1+x}{x}) =x \ln(1+x) - x\ln(x).

Si au cours on t'as appris que : \lim_{x\rightarrow 0} x\ln(x) = 0 alors je présume que tu peux conclure .

Posté par
Rom1B
re : Lim x*ln(1+(1/x)) en 0+ 19-07-17 à 11:07

Bonjour à tous,

Effectivement Nadia, je trouvais bien x( ln(x+1) - ln(x)) mais j'ai oublié de développer cette expression pour pouvoir trouvé la limite...
Je vais essayer avec la formule du taux d'accroissement par simple curiosité car je ne me souviens pas l'avoir utilisé cette année.

En tous les cas un grand merci à tous pour votre aide!

Romain

Posté par
carpediem
re : Lim x*ln(1+(1/x)) en 0+ 20-07-17 à 14:14

x = \dfrac 1 {\frac 1 x}


effectivement il ne s'agit pas tout à fait d'une dérivée ...

mais quand x tend vers +oo alors 1/x tend vers 0 ... donc ...


... ha mais non je me suis mélangé les pinceaux !!! x tend vers 0 !!!


désolé !!!

Posté par
Zormuche
re : Lim x*ln(1+(1/x)) en 0+ 20-07-17 à 14:54

Dommage, c'était si bien trouvé

Posté par
carpediem
re : Lim x*ln(1+(1/x)) en 0+ 20-07-17 à 15:49

en +oo ça aurait été bon !!

Posté par
Apparition
re : Lim x*ln(1+(1/x)) en 0+ 20-07-17 à 23:19

Et les développements limité tu as déjá vu ca ou Pas ? Sinon c'est direct Avec ca

Posté par
MouadCr7
re : Lim x*ln(1+(1/x)) en 0+ 24-07-17 à 00:16

essaye avec ça :
Avec un changement de variable en donnant  X = 1+\frac{1}{x}   on a   X= \frac{1}{x-1} puis quand x converge vers 0  X tombe vers +00  alors : ....=  \lim_{X\rightarrow +00 } \frac{ln(X)}{X-1} = \lim_{x\rightarrow +00} \frac{lnX}{X}\times \frac{X}{X-1} = 0\times 1 = 0



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