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lim fonction composée

Posté par
bluepills
07-07-14 à 17:20

bonsoir!
Svp, comment calculer limx(sin(x-)/(x-))en utilisant la limite de fonctions composées ?

Posté par
Camélia Correcteur
re : lim fonction composée 07-07-14 à 17:25

Bonjour

En posant u=x-\pi

Posté par
shawarma
re : lim fonction composée 07-07-14 à 17:29

Bonjour,

soient f(x)=\frac{sin(x-\pi)}{x-\pi} puis g(x)=\frac{sin(x)}{x} et h(x)=x-\pi

nous avons \boxed{f(x)=g(h(x))}

Par continuité naturellement on a \lim_{x\to\pi} h(x)=\red{0}

Que vaut \lim_{x\to \red{0}} g(x) ?

A toi

On pourra utiliser la définition du nombre dérivé du fait que sin(0)=0

Posté par
bluepills
re : lim fonction composée 07-07-14 à 17:34

donc pour le numérateur, la premiére fonction c'est u(x)=x-
la deuxiéme c'est la fonction sin
et pour le dénominateur svp ?

Posté par
carpediem
re : lim fonction composée 07-07-14 à 17:36

salut

pourquoi s'embêter avec une fonction composée alors que \dfrac {sin(x - \pi)}{x - \pi} = \dfrac {sin(x - \pi) - sin(\pi - \pi)}{x - \pi - (\pi - \pi)} ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : lim fonction composée 07-07-14 à 18:18

C'est l'indication de Camélia qui me semble la plus simple à utiliser. Cela revient à poser x = + u et à chercher la limite quand u tend vers 0 de (sinu)/u.

Remarque : Comme sin(x-) = -sinx , le résultat permettra de trouver aussi la limite de (sinx)/(x-) quand x tend vers .

Posté par
shawarma
re : lim fonction composée 08-07-14 à 02:43

Bonsoir,

...et la plus élégante est celle de carpediem - bien vu

Pour ma part j'ai orienté ma réponse selon la demande ("en utilisant la limite de fonctions composées") de bluepills, en restant scolaire donc.

Posté par
alb12
re : lim fonction composée 08-07-14 à 07:36

salut, sans parler de fonctions composees ni de changement de variable:

\lim_{x\to\pi }(x-\pi)=0

\lim_{X\to 0}\dfrac{\sin X}{X}=1

donc    \lim_{x\to \pi}\dfrac{\sin (x-\pi)}{x-\pi}=1

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : lim fonction composée 08-07-14 à 08:49

Oui alb 12 ; mais cela revient à ce qu'a écrit Shawarma, rédigé autrement.
Par ailleurs,il est plus facile d'utiliser la limite en 0 de (sinx)/x qu'un nombre dérivé d'une fonction... composée ( sin(x-) ?)

Posté par
alb12
re : lim fonction composée 08-07-14 à 09:36

oui c'etait pour eviter de parler de fonction composee qui peut ne rien evoquer à un eleve de terminale
sans compter que bluepills semblait se poser des questions apres le post de shawarma

Posté par
shawarma
re : lim fonction composée 09-07-14 à 12:38

Bonjour,

Euh...mais c'est lui qui demande expressément à utiliser les fonctions composées, enfin c'est ce que je me suis dit en lisant son message :

lim fonction composée

Mon indication sur le nombre dérivé c'était pour la limite du sin(x)/x en 0 (d'où le sin(0)=0) car je ne savais pas s'il avait vu ou pas la démo du résultat.

Posté par
alb12
re : lim fonction composée 09-07-14 à 15:32

oui tout à fait
mais j'avais l'impression que bluepills n'avait pas compris la notion de fonction composee
si elle pouvait nous eclairer ...



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