En utilisant les DL, on obtient que la limite est 1.

Demande des précisions si nécessaires.

@+

Bonjour,
         arcsin(arcsinx)        0
lim      ---------------- = ----
x0       x                     0

Il faut prend la dérivé de nominateur et le denominateur:
Sachant que

d (arcsinx)        1
-----------  = ----------
   dx           (1-x²)

d (arcsin(arcsinx)        1/((1-x^2)
------------------- = -----------------------
      dx                   (1-(arcsinx)^2)

on remet pour lim x0 dans l'equation ci-dessus en sachant que arcsin 0 = 0

Effectivement comme a dit Victor, on trouve la limite = 1

Poser arcsin(x) = sin(y) -> x = sin(sin(y))

arcsin(arcsin x) = y

Si x -> 0, on a aussi y -> 0

lim(x->0) [(arcsin(arcsin x ))/x] = lim(y->0) [y/sin(sin(y))]

Et comme lim(y->0) [sin(y) /y] = 1, on a:

lim(x->0) [(arcsin(arcsin x ))/x] = lim(y->0) [y/sin(sin(y))].[sin(y) /y]

lim(x->0) [(arcsin(arcsin x ))/x] = lim(y->0) [sin(y) / (sin(sin(y)))]

Poser sin(y) = z  (on a z -> 0 lorsque y -> 0) et donc:

lim(x -> 0) [(arcsin(arcsin x ))/x] = lim(z->0) [z/sin(z)] = 1

lim(x -> 0) [(arcsin(arcsin x ))/x] = 1
-----
Démo rigoureuse ou grosse bêtise ?  

merci à tous,mas je n'a i pas compris exactement que tu as voulu faire screen, peux tu m'expliquer ta démarche. merci d'avance.

Sans vouloir répondre à la place de screen, il existe une technique (règle de Lhospital) qui permet souvent de lever des indéterminations des types 0/0 ou (+/-oo)/(+/-oo)

Sans entrer sans les détails.

Si f(x) = g(x)/h(x)
et que lim(x-> a) [g(x)/h(x)] est d'une des formes indéterminées 0/0 ou (+/-oo)/(+/-oo), alors on a:

lim(x-> a) [g(x)/h(x)] = lim(x-> a) [g'(x)/h'(x)]
dans laquelle g'(x) et h'(x) sont les dérivées premières de g(x) et de h(x) par rapport à x

Cette technique est souvent très efficace dans ce genre d'indétermination, mais elle demande quelques précautions pour pouvoir l'utiliser et n'est plus enseignée, je pense, en Terminale

je comprends l'explication, mais je suis en 1ère année de licence math, mais je n'ai jamais vu cette démarche. A part les dévellopements limités, y aurait-il une autre façon.
merci

Tu n'aimes pas ma solution du 18/11/2004 à 12:32 ?

Bonjour et merci J-P,

Désolé nico972. Je ne connais pas très bien le programme des math suivi en France.
Il manque peut être un peu + d'explication :
Autant que je me souvienne, la définition de la dérivée vient de la limite. C-à-d :
Si une fonction est dérivable autour d'une valeur x₀, alors la fonction a une limite finie à x₀.
Graphiquement, la dérivée d'une fonction détermine sa continuité et sa pente. Ainsi si on a

f(x)    0
---- = --- pour lim x-->0, il me semble qu'il faut voir
g(x)    0

laquelle de ces deux fonctions va plus vite à zéro.
Donc d'ou l'apparition de la dérivée.
J'espère que je n'ai pas dit des grosses bêtises.
Bon courage...

bonsoir
je voulais juste soulever une chose à propos de la règle de l'hopital, mon prof de terminal me l'avait montré effectivement mais il m'a dit que l'on a pas le droit de l'utiliser!!c'est la méthode que j'ai trouvé la plus facile et je ne vois pas où est le problème pour arrêter de l'enseigner!!

Salut signeloubna,

Je suis également un chaud partisan de la règle du Marquis de Lhospital, cela m'a déjà valu de belles empoignades (sur un autre site) avec d'autres internautes (dont les connaissances en mathématiques étaient d'ailleurs très bonnes).

Leur argument principal avancé pour ne pas utiliser la règle de Lhospital est qu'elle permet de trouver des limites sans se rendre compte de ce que l'on fait contrairement par exemple aux développements limités.

Leur second argument est que la règle de Lhospital ne peut être utilisée que moyennant certaines précautions et que ces précautions sont souvent oubliées par ceux qui utilisent la règle.

Inutile de dire que je ne suis pas du tout convaincu par leurs arguments et que pour ma part je continuerai à utiliser la règle de Lhospital (en respectant ses modalités d'application bien entendu).

Vive le Marquis.