Niveau Maths sup

limite

Posté par matou (invité) 30-12-04 à 23:41

Salut,

Je n'arrive pas à déterminer la limite suivante:
-en 1:
      lim_x->1((cos(ax)-cos(a))/(e^(-ax[sup]2)[/sup]-e^(-a)))

                            Merci d'avance, Au revoir
                                    MATH

Posté par matou (invité)limite 30-12-04 à 23:42

J'ai oublié une petite pécision:
a est un réel, et a0()

Posté par re : limite 31-12-04 à 01:56

Bonsoir

Notons I la limite recherchée

Nous remarquerons que nous pouvons décomposer notre fraction comme cela :

$\red\frac{\cos(ax)-\cos(a)}{\mathrm{e}^{-ax^{2}}-\mathrm{e}^{-a}}=\frac{\cos(ax)-\cos(a)}{x-1}\times\frac{x-1}{\mathrm{e}^{-ax^{2}}-\mathrm{e}^{-a}}$

En posant : $f(x)=\cos(ax)$ et $g(x)=\mathrm{e}^{-ax^{2}}$

On a :
$I=\lim_{x\to 1} \frac{f(x)-f(1)}{x-1}\times\frac{x-1}{g(x)-g(1)}$

soit :
$I=\frac{f'(1)}{g'(1)}$

$f'(x)=-a.\sin(ax)$
donc :
$f'(1)=-a.\sin(a)$

et :
$g'(x)=-2ax.\mathrm{e}^{-ax^{2}}$
donc :
$g'(1)=-2a.\mathrm{e}^{-a}$

On en déduit :
$\blue\begin{tabular}I&=&\frac{-a.\sin(a)}{-2a.\mathrm{e}^{-a}}\\&=&\fbox{\frac{1}{2}\sin(a).\mathrm{e}^{a}}\end{tabular}$

Jord

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