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Limite 3

Posté par
Mathes1 09-02-20 à 17:55

Bonjour à tous ;
J'ai une petite question sur les limites trigonométriques ;
Merci beaucoup d'avance !
\lim_{x\to \dfrac{\pi}{4}} \dfrac{tan (4x )}{sin( 2x) -1}
\lim_{x\to 0 } sin (x) sin \dfrac{1}{x}
\lim_{x\to 0} \dfrac{1-cos^n(x)}{1-cos(x)} avec n
Merci et merci beaucoup d'avance ,je peux une petite indication s'il vous plaît et merci beaucoup d'avance !

Posté par
carpediemre : Limite 3 09-02-20 à 18:08

salut

|sin(1/x)| < 1

reconnaitre la somme des termes d'une suite géométrique

...

Posté par
Mathes1re : Limite 3 09-02-20 à 19:31

Bonsoir ;
Pour la première j'ai trouvé 0.

Posté par
SwagVerandare : Limite 3 09-02-20 à 19:45

Bonsoir,

Pour la première, la limite n'est pas définie en pi/4. En revanche, les limites à gauche et à droite oui. Reprends ton calcul

Posté par
Mathes1re : Limite 3 09-02-20 à 20:20

Bonsoir ;
J'ai calculé la dérivé deux fois et j'ai trouvé 0 est ce que c'est faux?

Posté par
Mathes1re : Limite 3 09-02-20 à 21:23

Bonsoir ; s'il vous plaît je veux une petite indication et merci beaucoup beaucoup100 d'avance !

carpediem @ 09-02-2020 à 18:08

salut

|sin(1/x)| < 1

reconnaitre la somme des termes d'une suite géométrique

...

Merci beaucoup ,mais qu'elle est le rapport entre la limite et suite géométrique ?

Posté par
Glapion Moderateurre : Limite 3 10-02-20 à 10:25

Moi, j'aurais écris

\dfrac{tan (4x )}{sin( 2x) -1} =\dfrac{tan(4x)}{x-\frac{\pi}{4}} \times\dfrac{x-\frac{\pi}{4}}{sin( 2x) -1}

et traité chaque terme comme un accroissement (ou l'inverse d'un accroissement).

Posté par
carpediemre : Limite 3 10-02-20 à 11:24

déjà proposé ici : Limite mais Limite ... même si ...

Posté par
Mathes1re : Limite 3 10-02-20 à 13:40

Bonjour ;
On fait le changement de variable ;
\lim_{x-\dfrac{\pi}{4}\to 0 } \dfrac{tan 4x}{sin2x -1}
Avec x-\dfrac{\pi}{4}=h
Alors ;\lim_{h\to 0 } \dfrac{tan 4 *(h+\dfrac{\pi}{4})}{sin2(h+\dfrac{\pi}{4}) -1}

Posté par
lafol Moderateurre : Limite 3 10-02-20 à 14:35

Bonjour

\dfrac{1-cos^n(x)}{1-cos(x)} = 1 + \cos x + \cos^2x + \cos^3 x + \cdots + \cos^{n-1}x

voilà ce que Carpi voulait dire, je pense, avec ses suites géométriques, non ?

Posté par
carpediemre : Limite 3 10-02-20 à 14:39

tout à fait ...

Posté par
Mathes1re : Limite 3 10-02-20 à 19:26

Bonsoir ;

Mathes1 @ 10-02-2020 à 13:40

Bonjour ;
On fait le changement de variable ;
\lim_{x-\dfrac{\pi}{4}\to 0 } \dfrac{tan 4x}{sin2x -1}
Avec x-\dfrac{\pi}{4}=h
Alors ;\lim_{h\to 0 } \dfrac{tan 4 *(h+\dfrac{\pi}{4})}{sin2(h+\dfrac{\pi}{4}) -1}

J'aimerais savoir est ce qu'il y a les fautes ?

Posté par
Mathes1re : Limite 3 11-02-20 à 18:48

Bonsoir ;
S'il vous plaît est ce qu'il y a une réponse ?
Merci beaucoup !

Posté par
Glapion Moderateurre : Limite 3 12-02-20 à 10:26

C'est quoi alors la limite ? et il te sert à quoi ton changement de variable au juste ?

Posté par
Mathes1re : Limite 3 14-02-20 à 17:01

Bonjour à tous;

Glapion @ 10-02-2020 à 10:25

Moi, j'aurais écris

  \dfrac{tan (4x )}{sin( 2x) -1} =\dfrac{tan(4x)}{x-\frac{\pi}{4}} \times\dfrac{x-\frac{\pi}{4}}{sin( 2x) -1}

et traité chaque terme comme un accroissement (ou l'inverse d'un accroissement).

Donc \lim_{x\to \dfrac{\pi}{4}} \dfrac{tan(4x)}{x-\frac{\pi}{4}} =4 et l'inverse est 1/4.
Et \lim_{x\to \dfrac{\pi}{4} } \dfrac{sin(2x) -1}{x-\dfrac{\pi}{4}}=0 forcément l'inverse est 0
D'où cette limite est nulle.

Posté par
Glapion Moderateurre : Limite 3 14-02-20 à 17:15

non il te faut prendre l'inverse de la seconde et comme elle tend vers 0, ça donne l'infini. Après il faut discuter des signes pour savoir si c'est + ou - l'infini.

Posté par
Mathes1re : Limite 3 14-02-20 à 17:20

Bonjour,
Merci beaucoup à vous pour cette nouvelle information ,si on calcule la limite de l'inverse et j'ai trouvé 0 ça vous dire que cette l'imite tend vers l'infini
Et puisque 4 est strictement positive ors cette limite est +l'infini.

Posté par
Glapion Moderateurre : Limite 3 14-02-20 à 17:43

non, il faut étudier le signe de tan(4x)/(sin(2x)-1) suivant que x tend vers pi/4 par valeurs supérieures ou inférieures, ces deux quantités peuvent être négatives.

Si tu avais eu la curiosité de dessiner le graphe, tu aurais vu ce qui se passe en pi/4
Limite 3

Posté par
Mathes1re : Limite 3 15-02-20 à 19:25

Bonjour,
J'ai vérifié mon calcul sur un logiciel qui donne directement le résultat [sans étapes ]

Cette limite est 0.

Posté par
Mathes1re : Limite 3 15-02-20 à 19:26

Désolée ;

Posté par
lafol Moderateurre : Limite 3 15-02-20 à 20:01

le lien que tu donnes indique que lim 1/(x-1) quand x tend vers 1 est l'infini .... le rapport avec la choucroute ne saute pas aux yeux

Posté par
Mathes1re : Limite 3 15-02-20 à 20:24

Mathes1 @ 15-02-2020 à 19:25

Bonjour,
J'ai vérifié mon calcul sur un logiciel qui donne directement le résultat [sans étapes ]

Cette limite est 0.

Désolée c'est - l'infini.

Posté par
Glapion Moderateurre : Limite 3 15-02-20 à 23:20

mais regarde le graphe, tu vois bien que ça peut être aussi + si x tend vers pi/4 par valeurs inférieures ?

Posté par
Mathes1re : Limite 3 16-02-20 à 08:36

Bonjour ; oui vous avez raison j'ai choisi par exemple -1 ,-4 ,-5 ,-8 on x j'ai trouvé positive mais en -2 ,-3 ,-6 ,-7, donne une valeur négative. est ce que ça vous dire
±l'infini , comment je peux le démontrer , s'il vous plaît une petite indication et merci beaucoup d'avance1000

Posté par
Glapion Moderateurre : Limite 3 16-02-20 à 11:06

je t'ai déjà dit quoi faire à 17:43 tu sais déjà que ça tend vers l'infini. tu dois faire un tableau de signes avec tan(4x) et (sin(2x)-1) et en déduire le signe du quotient au voisinage de pi/4.
C'est assez simple, quand on est juste avant pi/4, la tangente est négative et (sin(2x)-1) aussi, donc le quotient est positif et juste après pi/4, la tangente est positive et (sin(2x)-1) est encore négatif et donc le quotient est négatif.

Posté par
Mathes1re : Limite 3 16-02-20 à 12:36

Bonjour ; merci beaucoup beaucoup de m'avoir répondu ;
Et voici le résumé ;

Limite 3

Posté par
Glapion Moderateurre : Limite 3 16-02-20 à 13:13

C'est ça mais ne mets pas - et + dans ton tableau parce que la fonction a plein de discontinuités et puis on est intéressé par le signe qu'au voisinage de pi/4, le mieux est de ne mettre que pi/4.

Posté par
Mathes1re : Limite 3 16-02-20 à 13:24

Bonjour merci beaucoup
Et maintenant. Je peux déduire la limite ?
C'est ± l'infini ?

Posté par
Mathes1re : Limite 3 17-02-20 à 21:06

Bonjour à tous ;
Pour la première mon prof a corriger merci beaucoup.
Pour la deuxième ;non
Donc
\lim_{x\to 0 } sin (x) sin \dfrac{1}{x} \\ =\lim_{x\to 0 } \dfrac{sin x}{x }*x *\dfrac{sin \dfrac{1}{x}}{\dfrac{1}{x}}*\dfrac{1}{x}=1 ?
Merci beaucoup pour votre intérêt.

Posté par
carpediemre : Limite 3 17-02-20 à 21:18

des choses en trop !!

Mathes1 @ 17-02-2020 à 21:06


\lim_{x\to 0 } sin (x) sin \dfrac{1}{x} =\lim_{x\to 0 } \dfrac{sin x}{x } *\dfrac{sin \dfrac{1}{x}}{\dfrac{1}{x}} = 1 ?

Posté par
Glapion Moderateurre : Limite 3 17-02-20 à 23:11

non, si x tend vers 0, X=1/x tend vers l'infini, et quand X tend vers l'infini sin X / X ne tend pas vers 1 mais vers 0.

en fait pour résoudre cette limite, il fallait dire que sin 1/x reste minoré par -1 et majoré par 1 et que sin x tend vers 0, le tout tend donc vers 0.

Posté par
Mathes1re : Limite 3 23-02-20 à 13:39

Bonjour à tous merci beaucoup à vous,!
J'ai compris maintenant X=1/x et x=\dfrac{1}{X}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{x}}=x
On conclut que cette l'imite tend vers 0.

Posté par
Samscore : Limite 3 23-02-20 à 14:57

Mathes1 @ 23-02-2020 à 13:39

Bonjour à tous merci beaucoup à vous,!
J'ai compris maintenant X=1/x et x=\dfrac{1}{X}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{x}}=x
On conclut que cette l'imite tend vers 0.

Mais là ,tu n'as fait que démontrer que x=x

Posté par
carpediemre : Limite 3 23-02-20 à 16:28

certes mais il est bon de savoir que tout nombre non nul est l'inverse de son inverse !!!

Posté par
Mathes1re : Limite 3 23-02-20 à 17:16

Bonsoir , merci beaucoup à vous !
Si c'est correct ;on passe à la dernière ;


\dfrac{1-cos^n(x)}{1-cos(x)}  = 1 + \cos x + \cos^2x + \cos^3 x + \cdots + \cos^{n-1}x

=\dfrac{cos^n x -1}{2} ?

Posté par
alb12re : Limite 3 23-02-20 à 17:23

salut,

Mathes1 @ 17-02-2020 à 21:06

Bonjour à tous ;
Pour la première mon prof a corriger merci beaucoup.
Pour la deuxième ;non
Donc
\lim_{x\to 0 } sin (x) sin \dfrac{1}{x} \\ =\lim_{x\to 0 } \dfrac{sin x}{x }*x *\dfrac{sin \dfrac{1}{x}}{\dfrac{1}{x}}*\dfrac{1}{x}=1 ?
Merci beaucoup pour votre intérêt.

il suffit de voir que: pour x different de 0, |f(x)|<=|sin(x)|

Posté par
Mathes1re : Limite 3 09-03-20 à 14:26

Bonjour ;
J'ai une question qui m'a intrigué
\lim_{x\to 0 } sin (x) sin \dfrac{1}{x}
On pose X=1/x
Donc \lim_{x\to 0 } sin (x) sin {X}
=0
Est ce que c'est correct

Posté par
carpediemre : Limite 3 09-03-20 à 14:29

bof ... surtout que quand on fait un changement de variable ben on change toutes les variables (et le lieu de la limite) ...

Posté par
Mathes1re : Limite 3 09-03-20 à 14:42

Bonjour ;
Donc c'est faux n'est ce pas ?

Posté par
alb12re : Limite 3 09-03-20 à 14:45

completement !

Posté par
Samscore : Limite 3 09-03-20 à 15:06

Bonjour ,je pense que ce serait plus simple de procéder par encadrement ,on a :
Pour tout sin x<0

-1\leq\sin(\frac{1}{x})\leq1\iff\sin x\leq \sin x.sin(\frac{1}{x})\leq-\sin x

\lim_{x\to 0}\sin x=0 et \lim_{x\to 0}-\sin x=0

Donc \lim_{x\to 0 \atop x<0}\sin x.\sin(\frac{1}{x})=0

Et on fait pareil pour sin x>0

Posté par
sihassanre : Limite 3 09-03-20 à 15:21

Salut
On a
Sin(x).sin (1/x)=x.sin (1/x).sin (x)/x
Or   x.sin (1/x) est encadré par [-×,×] ou par [×,-×] suivant  que x >0 ou x <0 alors lim x. Sin (1/×)=0
Alors lim=0

Posté par
alb12re : Limite 3 09-03-20 à 17:52

j'ai ecrit un peu plus haut
pour x different de 0, |f(x)|<=|sin(x)|
une ligne de plus et c'est termine.


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