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Limite 4

Posté par
Mathes1 01-03-20 à 13:35

Bonjour à tous ;
J'ai un petit exercice merci beaucoup d'avance
Calculer les limites suivantes;
1)\lim_{x\to 2}\dfrac{x^2\sqrt x -x\sqrt x +\sqrt x-3\sqrt 2}{x\sqrt x +2\sqrt x -x\sqrt 2 -2\sqrt 2}
2)\lim_{x\to 0}\dfrac{1-\sqrt{x^2+1} *cos x}{x²}
Merci beaucoup d'avance ,je peux une petite indication s'il vous plaît .
Remarque;On ne peux pas utiliser la dérivation.
Merci beaucoup d'avance.

Posté par
carpediemre : Limite 4 01-03-20 à 14:30

salut

c'est toujours la même chose !!!

1/ factoriser le numérateur par x^2 r(x) et le dénominateur par x r(x) ... et simplifier ...

2/ multiplier numérateur et dénominateur par le conjugué du numérateur ...

Posté par
carpediemre : Limite 4 01-03-20 à 14:31

REM : faire des exercice à la suite c'est pour en retirer quelque chose ...

faire les mêmes exercices et ne rien en retirer est inutile ...

Posté par
Mathes1re : Limite 4 01-03-20 à 15:33

Bonjour ;
Je propose ;
1)
1)\lim_{x\to 2}\dfrac{x^2\sqrt x -x\sqrt x +\sqrt x-3\sqrt 2}{x\sqrt x +2\sqrt x -x\sqrt 2 -2\sqrt 2}
=\dfrac{x²\sqrt x -4\sqrt 2}{(x+2)(\sqrt x-\sqrt 2)}-\dfrac{x\sqrt x-2\sqrt 2}{(x+2)(\sqrt x-\sqrt 2)}+\dfrac{\sqrt x -\sqrt 2 }{(x+2)(\sqrt x-\sqrt 2)}
Et on calcule chaque fraction ;
\dfrac{(\sqrt x^5 -\sqrt2^5)(x²\sqrt x +4\sqrt 2)(\sqrt x +\sqrt 2)}{(x+2)(\sqrt x-\sqrt 2)(\sqrt x+\sqrt 2)(\sqrt x^5 +\sqrt 2^5)}=\dfrac{(x^5 -2^5 )(\sqrt x+\sqrt 2 )}{(x+2)(x-2)(\sqrt x^5 +\sqrt 2^5)}=\dfrac{(x^5-2^5 )(\sqrt x+\sqrt 2)}{(x²-2²)(\sqrt x^5 +\sqrt 2^5 )}
Et je bloque ici , pouvez vous s'il vous plaît me donner une petite indication s'il vous plaît.
Je suis désolée mais votre méthode me donner toujours forme indéterminée
\dfrac{x^2\sqrt x (1 -\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x²}-\dfrac{3\sqrt 2 }{x²\sqrt x})}{x\sqrt x(1+\dfrac{2}{x}-\dfrac{\sqrt 2 }{\sqrt x }-\dfrac{2\sqrt 2 }{x\sqrt x})}
Merci beaucoup à vous

Posté par
carpediemre : Limite 4 01-03-20 à 16:07

parce qu'il faut simplifier !!!

Posté par
Mathes1re : Limite 4 01-03-20 à 16:32

Bonjour ;
=
\dfrac{\dfrac{x²\sqrt x -x\sqrt x +\sqrt x -3\sqrt x }{x\sqrt x }}{\dfrac{x\sqrt x +2\sqrt x -x\sqrt 2 -2\sqrt 2 }{x\sqrt x }}
Et après séparer chaque fraction ;
\dfrac{\dfrac{x²\sqrt x }{x\sqrt x }-\dfrac{x\sqrt x }{x\sqrt x }+\dfrac{\sqrt x }{x\sqrt x }-\dfrac{3\sqrt 2 }{x\sqrt x }}{\dfrac{x\sqrt x }{x\sqrt x }+\dfrac{2\sqrt x }{x\sqrt x }-\dfrac{x\sqrt 2 }{x\sqrt x }-\dfrac{2\sqrt 2 }{x\sqrt x }}

Posté par
carpediemre : Limite 4 01-03-20 à 17:09

n'importe quoi ...

ne sais-tu pas que \dfrac {ka} {kb} = \dfrac a b (collège) ?

Posté par
Mathes1re : Limite 4 01-03-20 à 17:18

Oui Je sais , pourquoi ? Est ce que c'est correct jusqu'à maintenant.

Posté par
alb12re : Limite 4 01-03-20 à 17:34

salut,
on peut poser X=sqrt(x) puis factoriser par X-sqrt(2) en haut et en bas.

Posté par
carpediemre : Limite 4 01-03-20 à 18:05

alors qu'attends-tu pour simplifier \dfrac{x^2\sqrt x (1 -\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x²}-\dfrac{3\sqrt 2 }{x²\sqrt x})}{x\sqrt x(1+\dfrac{2}{x}-\dfrac{\sqrt 2 }{\sqrt x }-\dfrac{2\sqrt 2 }{x\sqrt x})}

Posté par
alb12re : Limite 4 01-03-20 à 18:16

cette factorisation n'a aucun interet pour etudier la limite en 2

Posté par
Mathes1re : Limite 4 01-03-20 à 18:19

Citation :

1)
1)\lim_{x\to 2}\dfrac{x^2\sqrt x -x\sqrt x +\sqrt x-3\sqrt 2}{x\sqrt x +2\sqrt x -x\sqrt 2 -2\sqrt 2}
=\dfrac{x²\sqrt x -4\sqrt 2}{(x+2)(\sqrt x-\sqrt 2)}-\dfrac{x\sqrt x-2\sqrt 2}{(x+2)(\sqrt x-\sqrt 2)}+\dfrac{\sqrt x -\sqrt 2 }{(x+2)(\sqrt x-\sqrt 2)}
Et on calcule chaque fraction ;
\dfrac{(\sqrt x^5 -\sqrt2^5)(x²\sqrt x +4\sqrt 2)(\sqrt x +\sqrt 2)}{(x+2)(\sqrt x-\sqrt 2)(\sqrt x+\sqrt 2)(\sqrt x^5 +\sqrt 2^5)}=\dfrac{(x^5 -2^5 )(\sqrt x+\sqrt 2 )}{(x+2)(x-2)(\sqrt x^5 +\sqrt 2^5)}=\dfrac{(x^5-2^5 )(\sqrt x+\sqrt 2)}{(x²-2²)(\sqrt x^5 +\sqrt 2^5 )}

On continue le calcul ;
\dfrac{(x^5-2^5)}{(x-2)(x+2)}=\dfrac{(x-2)(x^4+2x^3+4x²+8x+16)}{(x+2)(x-2)}=\dfrac{x^4+2x³+4x²+8x+16 }{x+2}=20
Et \dfrac{\sqrt x +\sqrt 2}{\sqrt x ^5+\sqrt 2 ^5 }=\dfrac{1}{4}
D'où ;
  \lim_{x\to 2} \dfrac{(x^5-2^5)(\sqrt{x}+\sqrt 2)}{(x²-2²)(\sqrt x ^5+\sqrt 2 ^5 )}=5
C'est à dire ;
\lim_{x\to 2} \dfrac{x²\sqrt x -4\sqrt 2 }{(x+2)(\sqrt x -\sqrt 2 )}=5
\lim_{x\to 2}\dfrac{x\sqrt x -2\sqrt 2 }{,(x+2)(\sqrt x -\sqrt 2 )}=\lim_{x\to 2}\dfrac{(\sqrt x-\sqrt 2)(x+\sqrt{2x}+2)}{(x+2)(\sqrt x -\sqrt 2 )}=\dfrac{x+\sqrt{2x}+2}{x+2}=\dfrac{3}{2}
Et :\lim_{x\to 2}\dfrac{\sqrt x -\sqrt 2 }{(x+2)(\sqrt x -\sqrt 2 )}=\dfrac{1}{x+2}=\dfrac{1}{4}
À la fin \lim_{x\to 2} f(x)=5-\dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{15}{4}
Merci beaucoup à vous
  

Posté par
alb12re : Limite 4 01-03-20 à 18:22

on peut faire plus court !

Posté par
Mathes1re : Limite 4 01-03-20 à 18:25

Bonsoir ; est ce que c'est correct ?

Posté par
alb12re : Limite 4 01-03-20 à 18:29

le numerateur se factorise ainsi:

\\ (\sqrt{x}-\sqrt{2}) (x^{2}+x \sqrt{2\cdot x}+x+\sqrt{2\cdot x}+3) \\

Posté par
alb12re : Limite 4 01-03-20 à 18:29

oui ton resultat est juste

Posté par
Mathes1re : Limite 4 01-03-20 à 18:34

Bonsoir ;
Votre méthode est plus rapide on trouve la limite en deux ligne !
Pour la dernière je veux une petite indication s'il vous plaît
Merci beaucoup pour votre intérêt

Posté par
alb12re : Limite 4 01-03-20 à 19:43

methode classique ! 1-sqrt(a)*b invite à multiplier par ??

Posté par
Mathes1re : Limite 4 01-03-20 à 20:09

Bonsoir ;
S'il vous plaît , j'ai rien compris votre idée Pouvez vous me donner une petite idée s'il vous plaît .
On fait la conjugué sans doute .

Posté par
alb12re : Limite 4 01-03-20 à 20:23

oui c'est plutot facile

Posté par
carpediemre : Limite 4 01-03-20 à 20:25

carpediem @ 01-03-2020 à 18:05

alors qu'attends-tu pour simplifier \dfrac{x^2\sqrt x (1 -\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x²}-\dfrac{3\sqrt 2 }{x²\sqrt x})}{x\sqrt x(1+\dfrac{2}{x}-\dfrac{\sqrt 2 }{\sqrt x }-\dfrac{2\sqrt 2 }{x\sqrt x})} \red = x \dfrac {1 -\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x²}-\dfrac{3\sqrt 2 }{x²\sqrt x}}{1+\dfrac{2}{x}-\dfrac{\sqrt 2 }{\sqrt x }-\dfrac{2\sqrt 2 }{x\sqrt x}}


sauf que je n'avais pas regardé où on cherchait la limite ...

effectivement en 2 il est "évident" (par expérience) qu'il faille factoriser par x - 2 ou x - r(2) ... comme le propose alb12

pardon !!

pour le deuxième alb12 te propose ce que je t'ai déjà dit dans mon premier msg ...

Posté par
Mathes1re : Limite 4 01-03-20 à 20:48

Bonsoir à tous ;
2)\lim_{x\to 0}\dfrac{1-\sqrt{x^2+1} *cos x}{x²}
=\dfrac{(1- \sqrt{x²+1}cos x )(1+ \sqrt{x²+1 } cos x ) }{x²(1+ \sqrt{x²+1 } cos x )}=\dfrac{1+(-x²-1)cos² x}{x²+x² \sqrt{x²+1} cos x }
Merci beaucoup pour votre intérêt

Posté par
carpediemre : Limite 4 01-03-20 à 20:56

développer le numérateur évidemment !!! mais pourquoi développer le dénominateur ?

et ne pas oublier  : Limite 3

Posté par
Mathes1re : Limite 4 01-03-20 à 21:08

Bonsoir ;
\dfrac{1-cos ²x *x² -cos² x }{x²(1+ \sqrt{x²+1} cos x) }

Posté par
Mathes1re : Limite 4 01-03-20 à 21:27

Merci beaucoup à vous j'ai trouvé ;
\dfrac{\dfrac{1-cos ²(x)}{x²}*x²-cos ²x x²}{x²(1+ \sqrt{x²+1} cos x )}=\dfrac{x²(\dfrac{1-cos²x}{x²}-cos²x)}{x²(1+ \sqrt{x²+1}cos x ) }=\dfrac{\dfrac{1-cos²x }{x²}-cos²x }{1+ \sqrt{x²+1} cos x }=0
\lim_{x\to 0}\dfrac{1-\sqrt{x^2+1} *cos x}{x²}=0
Est ce que c'est correct ?

Posté par
Priamre : Limite 4 01-03-20 à 21:43

Oui.

Posté par
Mathes1re : Limite 4 01-03-20 à 21:46

Merci beaucoup à tous le monde et à vous aussi .
Bonne nuit !

Posté par
alb12re : Limite 4 02-03-20 à 09:38

la fin est un peu rapide (1-cos(x)^2)/x^2 est une fi

Posté par
carpediemre : Limite 4 02-03-20 à 09:55

oui mais ça vaut sin^2 x / x^2 qui a été vu dans le lien que j'ai donné ... (mais c'est un peu rapide quand même)

c'est pourquoi je disais

carpediem @ 01-03-2020 à 14:30

c'est toujours la même chose !!!

Posté par
Mathes1re : Limite 4 02-03-20 à 13:05

Bonjour à tous ;
\lim_{x\to 2}\dfrac{1-cos²x }{x²}=\dfrac{sin²x}{x²}=(\dfrac{sin x}{x})^2 =1²=1

Posté par
carpediemre : Limite 4 02-03-20 à 13:26

attention !!! il manque des "lim" !!!


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