Niveau première

limite

Posté par
josephack 26-02-12 à 01:45

svp aidez moi !

lim(x--> pi/6) sin(6x) / ( 2cosx - 3 )

Posté par re : limite 26-02-12 à 08:28

L'indétermination de cette forme provient du fait que le numérateur et le dénominateur tendent tous deux vers 0. Pour que tu puisses t'en sortir, je te conseille de faire intervenir l'angle $x-\frac{\pi}{6}$ à la fois dans l'expression située au numérateur et dans l'expression située au dénominateur.

Donc, tu poses $t=x-\frac{\pi}{6}$ d'où $x=t+\frac{\pi}{6}$ . Alors, $\sin(6x)=\sin(6t+\pi)=-\sin(6t)$

Par ailleurs, $2\cos(x)-\sqrt{3}=2\times[\cos(x)-\frac{\sqrt{3}}{2}]=2\times[\cos(x)-\cos(\frac{\pi}{6})]$

Il serait alors judicieux d'utiliser la formule bien connue : $\cos(p)-\cos(q)=-2\sin(\frac{p+q}{2})\sin(\frac{p-q}{2})$

Je te laisse terminer...

Posté par re : limite 26-02-12 à 09:13

Je suppose que tu as déjà vu en cours ces limites

$\lim_{x\to0}\dfrac{\sin(x)}x=1$

$\lim_{x\to0}\dfrac{1-\cos(x)}x=0$

alors soit la fonction
$f(x)=\dfrac{\sin(6x)}{2\cos(x)-\sqrt3}$

on veut étudier son comportement au voisinage de $x=\frac{\pi}6$

évidemment, elle n'est pas définie en $x=\frac{\pi}6$ puisque le dénominateur s'annule
mais le numérateur aussi, et nous sommes en présence d'une forme indéterminée.

dans ce cas, pour utiliser les limites vues en cours, on commence par se replacer au voisinage de 0

on pose $x=t+\frac{\pi}6$

ainsi $\lim_{x\to\frac{\pi}6} = \lim_{t\to0}$

exprimons alors $f(x)$ en fonction de $t$

$f(x)=f(t+\frac{\pi}6)$

appelons $l(t)$ cette quantité
$f(x)=f(t+\frac{\pi}6)=l(t)$

là, en quelques lignes de calcul que tu vas refaire, on aboutit à
$l(t)=\dfrac{\sin(6t)}{\sin(t)+\sqrt3(1-\cos(t))}$

reprenons nos limites de cours

$\lim_{x\to0}\dfrac{\sin(x)}x=1$

en remplaçant x par 6x, et puisque $\lim_{6x\to0} = \lim_{x\to0}$ on obtient :
$\lim_{x\to0}\dfrac{\sin(6x)}{6x}=1$

et on va faire apparaître les quantités si dessus dans $l(t)$

on écrit que
$\sin(6t)=\dfrac{\sin(6t)}{6t}\times6t$

et de même
$\sin(t)+\sqrt3(1-\cos(t))=\left(\dfrac{\sin(t)}t+\sqrt3\dfrac{1-\cos(t)}t}\right)\times t$

ainsi :
$l(t)=\dfrac{\sin(6t)}{\sin(t)+\sqrt3(1-\cos(t))}$
devient

$l(t)=\dfrac{\sin(6t)}{6t}\times6t\times\dfrac1{\left(\dfrac{\sin(t)}t+\sqrt3\dfrac{1-\cos(t)}t}\right)\times t}$

on simplifie
$l(t)=6\times\dfrac{\sin(6t)}{6t}\times\dfrac1{\left(\dfrac{\sin(t)}t+\sqrt3\dfrac{1-\cos(t)}t}\right)}$

et là, il n'y a plus de forme indéterminée, et le résultat est :
$\lim_{t\to0}l(t)=6$

Posté par re : limite 28-02-12 à 18:42

Merci pour cette limite . ^_^

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