Niveau autre

Limite

Posté par
dydy13 04-01-14 à 20:21

Bonsoir à tous

Je peine à calculer cette limite, pourriez vous m'aider s'il vous plait ?

$\frac{1}{1-e^{-t}}-\frac{1}{t}$ en 0⁺

Je sais qu'il faut utiliser un développement limité, mais ensuite je suis bloquée dans mes calculs..

$\frac{1}{1-e^{-t}}-\frac{1}{t}$ = $\frac{1}{1 - (1 - t + \frac{t^²}{2} + o(t^2))}$ - $\frac{1}{t}$ = $\frac{1}{t - \frac{t^²}{2} + o(t^2))}$ - $\frac{1}{t}$

Posté par re : Limite 04-01-14 à 20:23

Ensuite, il faut factoriser par t au dénominateur de la première fraction, puis de refactoriser par 1/t dans l'expression complete et tu réappliques un DL à la fraction 1/(1-t/2+o(t)).

Posté par re : Limite 04-01-14 à 20:30

un dl à quel ordre ensuite ?

Posté par re : Limite 04-01-14 à 20:31

comment on fait il va y avoir 2 petit o ?

Posté par re : Limite 04-01-14 à 20:36

$\frac{1}{t - \frac{t^²}{2} + o(t^2))} - \frac{1}{t}=\frac{1}{t}*\frac{1}{1-\frac{t}{2}+o(t)}- \frac{1}{t}=\frac{1}{t}(\frac{1}{1-\frac{t}{2}+o(t)}-1)$ et puis tu fais un DL à l'ordre 2 en t.

Je ne suis pas un expert en petits o mais je pense que si tu fais un DL à l'ordre 1 (ce que tu as le droit de faire puisque ton DL au numérateur est à l'ordre 1), tu ne gardes en tout qu'un petit o(t).