Bonjour , j'ai un problème avec une limite

Lim     x sin(1/x)
x->-∞

1 ère méthode :
sois t =1/x
  
   Lim     x sin(1/x) = lim sint/t =1
x->-∞                     t->0



2ème méthode :

sin(1/x) > -1
   xsin(1/x)<-x


on a : lim -x   = +∞
          x->-∞


donc lim xsin(1/x) = +∞
         x->-∞



laquelle est fausse et pourquoi ?
merci d'avance