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Limite

Posté par sonia57 (invité) 09-04-06 à 11:21

SVP, j'ai un petit exercice en math que je n'ai pas compris. Pourrais-je avoir de l'aide, ce serait très gentil de votre part ! Merci
Voici l'énoncé :

Soit f la fonction définie sur ]0;+ [ par f(x) = (( x+1)-1) / x

determiner la limite de 0 de deux façon
a) à l'aide de l'expression conjuguée
b) à l'aide de de la définition de la dérivée en 1 de la fonction x tend vers racine de x

merci

Amicalement

Posté par Shadyfj (invité)re : Limite 09-04-06 à 11:30

a)En multipliant l'expression en haut et en bas par (x+1)+1
Tu obtiens f(x)=1/((x+1)+1) qui tend vers 1/2
b)x->(x) ne se lit pas la fonction x tend vers racine de x mais la fonction qui à x associe racine de x
Ensuite tu as [(h+1)-(1)]/h tend vers '(1)=1/2 quand h tend vers 0

Posté par sonia57 (invité)re : Limite 09-04-06 à 11:34

Merci beaucoup Shadyfj

Cependant , je n'ai pas bien compris la première étape !

Posté par Shadyfj (invité)re : Limite 09-04-06 à 11:37

La quantité conjuguée de (x+1)-1 est (x+1)+1
En multipliant en haut en en bas f(x) par cette quantité conjuguée tu ne changes pas f(x) et tu obtiens ce que je t'ai dit. Fais le calcul.

Posté par sonia57 (invité)re : Limite 09-04-06 à 11:42

Quand je fais le calcul j'obtiens

( x+1 )² /((x+1)+1)

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Limite 09-04-06 à 11:45

Bonjour,

Je ne fais que passer. Voici une petite fiche qui pourrait t'être utile.

Les méthodes ci-dessous permettent de lever la plupart des indéterminations vues au lycée. Il peut arriver qu'il soit nécessaire d'en combiner plusieurs, ou encore que plusieurs permettent indépendamment de résoudre l'exercice.

(1) factoriser le numérateur et le dénominateur par le terme de plus haut degré

Quand 3$x\to +\infty, 3$\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}=\frac{|x|}{x}\frac{\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}{1}\to 1

(2) [à condition d'avoir déjà vu en cours la notion de dérivée] reconnaître le taux d'accroissement d'une fonction

Quand 3$x\to 0, 3$\frac{e^{x^2}-1}{x^2}=\frac{e^{x^2}-e^0}{x^2-0}\to \exp'(0)=\exp(0)=1

(3) multipler par la quantité conjuguée (surtout en cas de racines)

Quand 3$x\to +\infty, 3$\sqrt{x^2+1}-x=\frac{(\sqrt{x^2+1}-x)(\sqrt{x^2+1}+x)}{\sqrt{x^2+1}+x}=\frac{x^2+1-x^2}{\sqrt{x^2+1}+x}=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}+x}\to 0

(4) dans le cas de la limite en un réel d'une fraction de polynômes, factoriser numérateur et dénominateur

Quand 3$x\to 1, 3$\frac{x^4+x^3-2}{x^3+x^2-2}=\frac{(x-1)(x^3+2x^2+2x+2)}{(x-1)(x^2+2x+2)}=\frac{x^3+2x^2+2x+2}{x^2+2x+2}\to\frac{7}{5}

(5) utiliser les formules trigonométriques

Quand 3$x\to 0, 3$\frac{\sin\left(\frac{\pi}{4}+x\right)-\sin\left(\frac{\pi}{4}-x\right)}{x}=\frac{2\cos\frac{\pi}{4}\sin x}{x}\to\sqrt{2}
Remarque : sur cet exemple, on aurait également pu utiliser la méthode (2).

(6) reconnaître une limite connue

Quand 3$x\to +\infty, 3$x^2\sin{\frac{2}{x^2}}=2\frac{\sin{\frac{2}{x^2}}}{\frac{2}{x^2}}\to 2

Exemples de limites connues :
3$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=0, 3$\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}, 3$\lim_{x\to +\infty}\frac{\ln x}{x}=0, 3$\lim_{x\to 0^+}x\ln x=0

(7) [hors programme] Règle de L'Hôpital
Théorème. Soient f et g deux fonctions définies et continues sur ]a, b] et dérivables sur ]a, b[. On suppose que f(b)=g(b)=0 et que pour tout x de ]a, b[, g'(x)\neq 0. Alors, sous réserve d'existence de la seconde limite :
3$\lim_{x\to b}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to b}\frac{f'(x)}{g'(x)}

Théorème. Soient f et g deux fonctions définies et continues sur ]a, b] et dérivables sur ]a, b[. On suppose que \lim_{x\to b}f(x)=\lim_{x\to b}g(x)=+\infty et que pour tout x de ]a, b[, g'(x)\neq 0. Alors, sous réserve d'existence de la seconde limite :
3$\lim_{x\to b}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to b}\frac{f'(x)}{g'(x)}

Nicolas

Posté par Shadyfj (invité)re : Limite 09-04-06 à 11:45

Tu as f(x)=((x+1)-1)/x
Lorsque tu multiplies par la quantité conjuguée
Au dénominateur tu as quelque chose sous la forme (a+b)(a-b)=a²-b²
Ce qui donne x
Au dénominateur tu as x*(x+1)+1)
Donc f(x)=1/(x+1)+1)

Posté par Shadyfj (invité)re : Limite 09-04-06 à 11:46

Au numérateur pour le deuxième dsl

Posté par sonia57 (invité)re : Limite 09-04-06 à 11:50

merci a toi nicolas75 pour ta fiche !!

et merci  Shadyfj beaucoup ! j'ai enfin compris

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Limite 09-04-06 à 11:52

(Je t'en prie. )


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