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Niveau Licence Maths 1e ann
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Limite

Posté par
siezagaston
16-06-19 à 01:06

Bonsoir
Limite de n!/(n^n) lorsque n tend ver +00
J'ai essayé par tout les méthode j me pose la question est que cette limite existe .

Posté par
lionel52
re : Limite 16-06-19 à 01:32

Tu peux voir que
U_{n+1}/U_n = (n/(n+1))^n  \to 1/e < 1

Donc
U_n  \to 0

Posté par
siezagaston
re : Limite 16-06-19 à 10:07

lionel52
La suite est Un= \large \frac{n!}{n^n}

Posté par
malou Webmaster
re : Limite 16-06-19 à 10:18

oui, et .....?

que vaut alors Un+1 ?
et fais ton quotient comme Lionel

Posté par
carpediem
re : Limite 16-06-19 à 12:14

salut

une méthode classique : couper en deux !!!

notons p = \dfrac {E(n)} 2

alors

\forall k \le p  :  \dfrac k n \le \dfrac 1 2

\forall p < k \le n  :  \dfrac k n \le 1

donc \dfrac {n!} {n^n} \le \left( \dfrac 1 2 \right)^p \times 1^{n - p} \underset {n \to + \infty}{\to} 0

Posté par
carpediem
re : Limite 16-06-19 à 12:16

carpediem @ 16-06-2019 à 12:14

salut

une méthode classique : couper en deux !!!

notons p = \red E \left(\dfrac n 2 \right)

alors

\forall k \le p  :  \dfrac k n \le \dfrac 1 2

\forall p < k \le n  :  \dfrac k n \le 1

donc \dfrac {n!} {n^n} \le \left( \dfrac 1 2 \right)^p \times 1^{n - p} \underset {n \to + \infty}{\to} 0

Posté par
toureissa
re : Limite 16-06-19 à 14:01

Bonjour,

0=<un=(2×3×...×n)/nn=<nn-1/nn=1/n

Théorème  des gendarmes

Posté par
siezagaston
re : Limite 17-06-19 à 00:15

malou
Un+1=\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}

Posté par
siezagaston
re : Limite 17-06-19 à 00:27

Bonsoir carpediem
Je n'arrive pas a comprends votre encadrement sur au niveau:
\forall k \le p  :  \dfrac k n \le \dfrac 1 2

Posté par
lionel52
re : Limite 17-06-19 à 07:14

siezagaston @ 17-06-2019 à 00:15

malou
Un+1=\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}





Posté par
lionel52
re : Limite 17-06-19 à 09:43

Y a eu un edit des messages ou c'est moi qui me suis levé du mauvais pied à 7h? (Pas faire attention à mon precedent message)

Posté par
carpediem
re : Limite 17-06-19 à 19:28

siezagaston @ 17-06-2019 à 00:27

Bonsoir carpediem
Je n'arrive pas a comprends votre encadrement sur au niveau:
\forall k \le p  :  \dfrac k n \le \dfrac 1 2
ben si k < n/2 alors évidemment k/n < (n/2)/n = 1/2 ...

je coupe en deux parties quasiment égales (à un entier près)

toureissa coupe deux parties de cardinal 1 et n - 1 ...



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