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Limite.

Posté par
matheux14 23-08-20 à 18:46

Bonjour ,

Merci d'avance.

Soit la fonction f de \R vers \R définie par f(x)=x. Sin(\dfrac{\pi}{x²}).

Étudier la limite de la fonction f en 0.

Réponse

Alors j'ai entré cette fonction à GeoGebra..

Voilà : Limite.

C'est juste incroyable mais je ne sais pas vraiment comment répondre à la question..

Parce que j'ai une forme indéterminée avec x=0 et je n'arrive pas à lever cette forme là..

Posté par
malou Webmasterre : Limite. 23-08-20 à 18:59

bonjour
encadre ton sinus....

Posté par
matheux14re : Limite. 23-08-20 à 19:46

On a -1 \leq sin.x \leq 1 \Rightarrow -x \leq x.sin.x² \leq x \Rightarrow -\dfrac{\pi}{x²} \leq \dfrac{\pi}{x.sin.x²} \leq \dfrac{\pi}{x²}

Posté par
matheux14re : Limite. 23-08-20 à 19:50

Oups

matheux14 @ 23-08-2020 à 19:46

On a -1 \leq sin.x \leq 1 \Rightarrow -x \leq x.sin.x² \leq x \Rightarrow -\dfrac{\pi}{x} \leq \dfrac{\pi}{x.sin.x²} \leq \dfrac{\pi}{x}

Posté par
malou Webmasterre : Limite. 23-08-20 à 19:51

holla...je crains le pire...

-1 \leq sin.x \leq 1 parfait
ensuite tu dois tout justifier

edit > il n'y a pas de point en sin et x puisque c'est sin(x)

Posté par
matheux14re : Limite. 23-08-20 à 20:02

Oui ,

On a -1 \leq sin(x) \leq 1

D'où -x \leq x.sin(x²) \leq x car x est positif.

\Rightarrow -\dfrac{\pi}{x} \leq \dfrac{\pi}{x.sin(x²)} \leq \dfrac{\pi}{x} car π est positif.

Posté par
malou Webmasterre : Limite. 23-08-20 à 21:36

mais "sin" est une fonction
tu ne peux pas passer de sin(x) à la 1re ligne à sin(x²) à la 2e....
et rien ne dit que x est positif...
encadre directement le sinus qu'on te donne dans ton énoncé !

Posté par
matheux14re : Limite. 23-08-20 à 22:31

-1 ≤ sin(π/x²) ≤ 1

Posté par
malou Webmasterre : Limite. 24-08-20 à 07:39

ah, ça c'est nettement mieux
et tu poursuis, sans oublier que quand on dit que x tend vers 0, il peut prendre aussi bien des valeurs positives que négatives.
Je vais devoir partir, quelqu'un prendra le relais.

Posté par
matheux14re : Limite. 24-08-20 à 09:07

On sait que -1 \leq Sin(\dfrac{\pi}{x²}) \leq 1

*Si x >0 , -x \leq x. Sin(\dfrac{\pi}{x²}) \leq x.

* Si x< 0 , -x \geq x.Sin(\dfrac{\pi}{x²}) \geq x

•x>0 ==> limite de x.Sin(\dfrac{\pi}{x²}) par valeurs supérieures.

•x< 0 ==> limite de x.Sin(\dfrac{\pi}{x²}) par valeurs supérieures.

Comme \lim_{x\to 0}x=0

et \lim_{x\to 0}-x=0  ;

\lim_{x\to 0 \atop x < 0} x. Sin(\dfrac{\pi}{x²})=0 et

\lim_{x\to 0 \atop x>0} x. Sin(\dfrac{\pi}{x²})=0

Posté par
malou Webmasterre : Limite. 24-08-20 à 12:49

Posté par
matheux14re : Limite. 24-08-20 à 12:57

Merci

Posté par
malou Webmasterre : Limite. 24-08-20 à 13:10

un oubli
comme tu trouves que
\lim_{x\to 0 \atop x < 0} x. Sin(\dfrac{\pi}{x²})=0 et

\lim_{x\to 0 \atop x>0} x. Sin(\dfrac{\pi}{x²})=0

(limite à gauche = limite à droite)

tu en conclus que \lim_{x\to 0 } x. Sin(\dfrac{\pi}{x²})=0 qui était la question posée.

Posté par
matheux14re : Limite. 24-08-20 à 13:25

Oui

Merci


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