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Limite

Posté par
Solay
14-03-21 à 14:49

Bonjour,
J'ai un exercice bizarre :

Soit Un une suite de réels non nuls.
On suppose que pour tout n appartenant a N, || Un+1 / Un || <= a <= 1.
Montrer que limite Un quand n tend vers l'infini est égale a  0.

Si je n'ai pas tort, l'exercice affirme que Si Un est décroissante alors la suite tend vers 0, ce qui est complètement faux .

**forum modifié**

Posté par
malou Webmaster
re : Limite 14-03-21 à 14:52

Bonjour

tu es sûr qu'il y avait des "doubles barres " ?

Posté par
Solay
re : Limite 14-03-21 à 14:54

J'ai fait expres de mettre 2 barres pour souligner que c une valeur absolue, sauf si 2 barres a une signification.

Posté par
Camélia Correcteur
re : Limite 14-03-21 à 15:02

Bonjour

Salut malou, si ça t'arrange, je peux prendre la suite (dans tous les sens!
"Double barre" a bien une autre signification. Tu es sur que dans ton énoncé on a a\leq 1? Ne serait-ce pas a < 1?

Posté par
Solay
re : Limite 14-03-21 à 15:04

Ah oui mince.. c'est bien ça,,

Posté par
Camélia Correcteur
re : Limite 14-03-21 à 15:12

Alors c'est beaucoup plus fort que juste décroissante.
Pour le démontrer, prouve que |U_n|\leq a^n |U_0|

Posté par
Camélia Correcteur
re : Limite 14-03-21 à 15:12

|U_n|\leq a^n|U_0|

Posté par
Solay
re : Limite 14-03-21 à 15:16

Merci pour l'indication mais j'ai déjà résolu l'exercice. Cependant, je ne comprends pas ce qu'affirme l'exercice. Si Un+1/Un <1 alors Un est décroissante,  que peux-tu dire donc par beaucoup plus fort que décroissante ?

Posté par
Camélia Correcteur
re : Limite 14-03-21 à 15:19

Le quotient majoré par a < 1, est plus contraignant que majoré par 1. Après tout, être inférieur à 1/2, c'est plus dur qu'être inférieur à 1.

Posté par
Solay
re : Limite 14-03-21 à 15:23

Ah ok je vois mais  l'exercice affirme-t-il que Si Un est décroissante alors la suite tend vers 0 ? Par exemple en prenant a = 0,99.

PS : Petite question, comment avez-vous su  qu'il fallait prouver que |U_n|\leq a^n|U_0| afin de resoudre l'exercice aussi vite ?

Posté par
Camélia Correcteur
re : Limite 14-03-21 à 15:35

Même en prenant a=0,99, on a \lim (0,99)^n=0.
Quant au fait que j'ai répondu vite, c'est le bénéfice de l'âge et de l'expérience! Ce n'est pas la première fois que je vois cette histoire.

Posté par
Solay
re : Limite 14-03-21 à 15:39

Merci une dernière question :
Qu'affirme cet exercice en des mots ? Parce que pour moi l'énoncé me dit que tout suite décroissante tend vers 0

Posté par
Camélia Correcteur
re : Limite 14-03-21 à 15:56

Je ne vois pas comment faire mieux! je répète, toute suite décroissante ne vérifie pas la condition de l'exercice.

La suite U_n=1+\dfrac{1}{n+1} est bien décroissante, ne tend pas vers 0, mais

\lim\dfrac{U_{n+1}}{U_n}=1

ce qui fait qu'il n'existe pas de a < 1 majorant U_{n+1}/U_n

Posté par
Solay
re : Limite 14-03-21 à 16:33

Grand Merci c'est clair a présent !

Posté par
Camélia Correcteur
re : Limite 14-03-21 à 16:44

Posté par
malou Webmaster
re : Limite 14-03-21 à 17:13

Camélia @ 14-03-2021 à 15:02

Bonjour

Salut malou, si ça t'arrange, je peux prendre la suite (dans tous les sens!
"Double barre" a bien une autre signification. Tu es sur que dans ton énoncé on a a\leq 1? Ne serait-ce pas a < 1?


coucou Camelia, j'étais repartie aussi vite ! merci d'avoir pris le relais

Solay @ 14-03-2021 à 14:54

J'ai fait expres de mettre 2 barres pour souligner que c une valeur absolue, sauf si 2 barres a une signification.


elle est excellente celle là ! je ne l'avais pas encore rencontrée

bonne fin de journée à tous les deux



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