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Niveau terminale
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Limite

Posté par
Lanule
30-10-21 à 16:36

Bonjour , j'ai besoin d'aide pour mon devoir de maths.
Je dois déterminer des limites:

• Un= racine carrée de n + (-1) puissance n.

•Vn = 25 + cos(n) /n.

Posté par
Picarresur6
re : Limite 30-10-21 à 16:49

Bonjour,
Ce sont des limites où n tend vers quoi ?
Pour Un, votre suite correspond à u_n = \sqrt{n + (-1)^n} ou u_n = \sqrt{n} + (-1)^n ?
Enfin, avez-vous déjà une idée de ce qu'il faut faire ?

Bonne fin d'après-midi,

Posté par
Lanule
re : Limite 30-10-21 à 16:59

Oui se sont des limites où n tend vers + infini.
Et la suite correspond à la deuxième écriture.
Je pense qu'il faudrait faire le théorème des gendarmes mais j'y arrive pas.

Posté par
Picarresur6
re : Limite 30-10-21 à 17:03

Les deux suites sont bien indépendantes l'une de l'autre, n'est-ce pas ?

\lim_{n \rightarrow +\infty} \sqrt n = \ ?

Posté par
Lanule
re : Limite 30-10-21 à 17:09

Oui elles sont indépendantes.

Et ça fait + infini

Posté par
Picarresur6
re : Limite 30-10-21 à 17:21

Pas de chance, la suite (-1)^n n'admet pas de limite quand n tend vers l'infini…
Pourtant on peut juger que, par rapport à \sqrt n, (-1)^n est très généralement négligeable (car ne valant uniquement +1 ou -1 selon les cas), surtout quand n tend vers de grandes valeurs.

On peut en déduire que \lim_{x \rightarrow +\infty} \sqrt n + (-1)^n = \ldots

Posté par
Lanule
re : Limite 30-10-21 à 17:25

Attendez , donc la limite de (-1) puissance n = 0?

Si oui , alors on en déduit que la limite de la suite Un où n tend vers l'infinie = + infinie ?

Posté par
Picarresur6
re : Limite 30-10-21 à 17:35

Non, puisque u_n = (-1)^n a pour valeurs 1 et -1 uniquement selon la parité de n, mais elle ne tend pas vers une valeur particulière quand n tend vers +infini. On dit que c'est une suite qui n'admet pas de limite, tout comme u_n = cosn

Oui c'est juste. On peut d'ailleurs le voir sur un graphique, par exemple, la suite u_n n'arrête pas de croître et on peut la faire devenir aussi grande que l'on veut.

Passons à v_n
\lim_{n \rightarrow +\infty} 25+\frac{cosn}{n} = 25 + \lim_{n\rightarrow +\infty} \frac{cosn}{n}, ça peut aider.

Posté par
Lanule
re : Limite 30-10-21 à 17:39

Pour la limite de la suite  Vn c'est la même chose que pour la suite précédente ?

Posté par
Picarresur6
re : Limite 30-10-21 à 18:17

Non.

Ici, on pose v_n = u_n + w_n.
u_n = 25 et w_n = \frac{cosn}{n}.

\lim_{n \rightarrow +\infty} v_n = \lim_{n \rightarrow +\infty} u_n + \lim_{n \rightarrow +\infty} w_n = 25 + \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{cosn}{n}.

Il faut donc calculer la limite de \frac{cosn}{n}

Posté par
Lanule
re : Limite 30-10-21 à 18:28

Ah .. et comment on fait pour calculer la limite de Wn?

Posté par
philgr22
re : Limite 30-10-21 à 18:38

Bonsoir ,
En attendant que picarresur6 revienne , connais tu le theoreme des gendarmes?

Posté par
Picarresur6
re : Limite 30-10-21 à 19:20

Hello philgr22!

Je dis encore un truc à Lanule, ensuite tu pourras continuer à ma place si tu veux.

On peut encadrer la suite w_n = \frac{cosn}{n} par deux réels [lesquels ?].
On peut en déduire un encadrement de la suite par deux autres suites qui, à l'infini, tendent vers 0.
Ensuite, on applique le théorème des gendarmes.

NB : Je pense que c'est plus simple si on suppose n \geq 1.

Posté par
Lanule
re : Limite 30-10-21 à 20:01

Je note -1 _< cos (x) _< 1?

Posté par
Lanule
re : Limite 30-10-21 à 20:03

-1 _< cos (x) _< 1
n-1 _< n cos(x) _< n+1

Comme ça que je fais ma démarche  ?

Posté par
Picarresur6
re : Limite 30-10-21 à 20:07

Vous devez choisir des suites d'encadrement dont la limite quand x tend vers l'infini = 0, pour pouvoir utiliser le théorème des gendarmes.

Pour vous aider, et sans l'utiliser dans l'exercice, vous pouvez rentrer ces fonctions dans une application de calculatrice graphique (par exemple GeoGebra Calculette Graphique) pour voir la forme de la fonction, et ainsi avoir une idée de sa limite.

Posté par
Picarresur6
re : Limite 30-10-21 à 20:08

D'ailleurs votre égalité n+1 est fausse, parce que vous multipliez cos(n) par n, alors que vous ajoutez 1 aux termes d'encadrement, ça ne va pas.

Posté par
Lanule
re : Limite 30-10-21 à 20:12

Ok d'accord.
Mercii pour votre aide.

Bonne soirée.

Posté par
Picarresur6
re : Limite 30-10-21 à 20:14

De rien, mais avez-vous trouvé la valeur de la limite du coup ?

Posté par
Picarresur6
re : Limite 30-10-21 à 23:11

En fait, pour u_n = \sqrt n + (-1)^n, on sait que (-1)^n \in \{0 ; 1\}.
On peut donc en déduire que si v_n = \sqrt n + 2 et w_n = \sqrt n - 2, alors v_n > u_n > w_n.
Or on détermine facilement que \lim_{n \rightarrow +\infty} v_n = +\infty et que \lim_{n \rightarrow +\infty} w_n = +\infty. Donc, d'après le théorème des gendarmes, \lim_{n \rightarrow +\infty} u_n = +\infty.

Posté par
Picarresur6
re : Limite 30-10-21 à 23:13

Picarresur6 @ 30-10-2021 à 23:11

En fait, pour u_n = \sqrt n + (-1)^n, on sait que (-1)^n \in \{0 ; 1\}.
==> que (-1)^n \in \{-1 ; 1\} plutôt, excusez-moi.

* Sylvieg edit > Coquille rectifiée *

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Limite 31-10-21 à 08:58

Bonjour,
Je vais un peu couper l'herbe sous les pieds de philgr22, mais je ne voudrais prévenir Lanule que ceci n'est pas accepté comme démonstration correcte en terminale :

Citation :
par rapport à \sqrt n, (-1)^n est très généralement négligeable (car ne valant uniquement +1 ou -1 selon les cas), surtout quand n tend vers de grandes valeurs.

On peut en déduire que \lim_{x \rightarrow +\infty} \sqrt n + (-1)^n = \ldots

Par ailleurs, dans le message de 23h11, ce n'est pas le théorème des gendarmes qui est utilisé, mais un théorème de comparaison :
un wn pour tout n de .
La limite de la suite (wn) est +.
Par comparaison, la limite de la suite (un) est +.

Posté par
Picarresur6
re : Limite 31-10-21 à 09:06

Bonjour,
Oui c'est vrai… Excusez-moi

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Limite 31-10-21 à 10:41

Ne t'inquiète pas
Et continue d'aider quand tu en as envie.
Les explications d'un élève sont souvent pertinentes car vous voyez plus clairement où se situe l'incompréhension quand il y en a.
Et en plus, c'est très formateur, pour celui qui aide, d'essayer d'être clair.

Posté par
Picarresur6
re : Limite 31-10-21 à 10:46

Je suis bien d'accord, et, à l'avenir, je vais faire plus attention.

Merci et bonne journée,

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Limite 31-10-21 à 10:48

Contente que tu le prennes bien.
Bonne journée à toi aussi



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