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Niveau Maths sup
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limite

Posté par
Dibal
21-03-23 à 14:17

Bonjour à tous .

Je coince sur cette limite

-3x^2(e^{1/x}-cos(1/x)) en +00 , jai essayé de faire intervenir des factorisations , puis des fonctions composées mais sans suite , quelqu'un aurait une idée s'il-vous-plait ?

Merci d'avance

Posté par
Camélia Correcteur
re : limite 21-03-23 à 14:28

Bonjour

Essaye un développement limité au voisinage de 0 de e^u-\cos(u)

Posté par
Dibal
re : limite 21-03-23 à 14:36

Je me doutais bien qu'il s'agissait d'un DL , on va voir ce chapitre demain en cours demain , je l'ai déjà regardé sur le net  mais bon je vais être sage j'attends le cours du prof , merci Camélia  je reviens demain pour finaliser ca

Posté par
Camélia Correcteur
re : limite 21-03-23 à 14:39

Posté par
carpediem
re : limite 21-03-23 à 17:47

salut

est-il vraiment besoin d'un dl ?

oublions le facteur -3 dans un premier temps et qui ne pose pas pb et effectuons le changement de variable u = 1/x ; alors :

x^2[e^{1/x} - \cos (1/x)] = \dfrac 1 u \dfrac {f(u) - f(0)}{u - 0} avec f(x) = e^x - \cos x

Posté par
Dibal
re : limite 22-03-23 à 17:38

Yes!!! javais pas vu ca bien joué carpediem et le prof en cours ma également dit qu'on pouvait très bien se passer du DL. Merci

alors d'une part  la limite en quand u tend vers O de \dfrac {f(u) - f(0)}{u - 0} = f'(0)=1

D'autre part si u<0 ,\frac{1}{u} tends vers moins l'infini et donc   -3x^2[e^{1/x} - \cos (1/x)] tends vers +00 , et on raisonne de manière symétrique pour u>O

de toutes façon  la fonction cos est paire qu'on ait u<0 ou u>O , f'(O)=1 (je sais même pas si c'est nécessaire de rappeler cela puisque le sin(0)=0  )

Posté par
carpediem
re : limite 22-03-23 à 20:25

si x --> +oo alors u --> 0 et u > 0 ...

Posté par
Dibal
re : limite 22-03-23 à 20:29

oui si u>O bein  \frac{1}{u} tend vers +oo et donc ma fonction -3x^2[e^{1/x} - \cos (1/x)] va tendre vers -oo vu que f'(0)=1

Posté par
Dibal
re : limite 22-03-23 à 20:33

-3\frac{1}{u^2}[e^{u} - \cos (u)] cest plutôt ca qui tend vers -oo quand u tend vers 0^+

mais par limite de la composition on se retrouve le même résultat pour -3x^2[e^{1/x} - \cos (1/x)] quand x tend vers +oo



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