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limite

Posté par
Devoirs33
18-05-23 à 19:38

Bonjour,
J'aimerais de l'aide concernant cet exercice s'il vous plaît,merci.

1a) Résout 5y' - y = 4
y' = (4+y) / 5
y(x)   = k.e^(e/5) - 4
1b)Détermine la solution qui prend en 5 la valeur -5
2a) Voici f(x) = -4 - e^(1/5x-1)
Vérifie que f est la solution trouvée à 1b)
2b) Etudie les variations de f sur R
2c) Etudie les limites de f en + infini et en - infini

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : limite 18-05-23 à 21:30

Bonjour,
" y(x) = k.e^(e/5) - 4 " est sans doute ta réponse.
Il vaut mieux donner l'énoncé sans interruption, suivi de ce qu'on a traité.
Le problème, c'est qu'il n'y a pas de x dans ce que tu proposes.
C'est sans doute une coquille : un "e" au lieu de x ?

Posté par
Devoirs33
re : limite 18-05-23 à 22:41

oui je voulais dire y(x)   = k.e^(x/5) - 4

Posté par
hekla
re : limite 18-05-23 à 23:38

Bonsoir

Déterminez k maintenant puisque vous savez que  y(5)=-5

Posté par
Devoirs33
re : limite 18-05-23 à 23:49

k = -5/e^(5/5 ) + 4 = 2,16

Posté par
hekla
re : limite 18-05-23 à 23:55

Comment calculez-vous y(x)  ? y(5)=k\text{e}^{(5/5)}-4=-5

d'où k=

remarque 5/5=1

Posté par
Devoirs33
re : limite 18-05-23 à 23:58

k * e^1 - 4 = -5
k = -5/e^1 - 4 = 3,9

Posté par
hekla
re : limite 19-05-23 à 00:02

règle de priorité

k\text{e}-4=-5\iff k\text{e}=-5+4 =-1 d'où k=

Posté par
Devoirs33
re : limite 19-05-23 à 00:05

k = -1 / e ?

Posté par
hekla
re : limite 19-05-23 à 00:10

Bien sûr

y(x)=-\text{e}^{-1}\text{e}^{x/5}-4

Posté par
Devoirs33
re : limite 19-05-23 à 16:19

Je résous : -4 - e^(1/5x-1)  =  -e^(-1)e^(x/5) - 4 ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : limite 19-05-23 à 16:37

Rebonjour,
Tu parles de quelle question ?

Posté par
Devoirs33
re : limite 19-05-23 à 16:38

2a

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : limite 19-05-23 à 16:45

Il ne s'agit pas de résoudre une équation, mais de démontrer que pour tout x de l'égalité
-4 - e^(x/5-1) = -e^(-1)e^(x/5) - 4 est vérifiée.

En utilisant le bouton X2 sous la zone de saisie, c'est plus facile à voir :
-4 - e(x/5)-1 = -e-1ex/5 - 4

Posté par
hekla
re : limite 19-05-23 à 16:48

On vous demande de vérifier que f est une solution de l'équa diff


Vous prenez f, vous dérivez et vous calculez 5f'(x)-f(x)

si elle est solution, vous devrez alors trouver 4

Posté par
hekla
re : limite 19-05-23 à 16:51

Bonjour Sylvieg

Je vous laisse continuer

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : limite 19-05-23 à 17:41

Je ne vais plus être disponible.
De toutes façons, tu pouvait continuer aussi hekla

Posté par
Devoirs33
re : limite 19-05-23 à 18:17

f'(x) = 1/6x - 1

Posté par
hekla
re : limite 19-05-23 à 18:39

y(x)=-\text{e}^{-1}\text{e}^{x/5}-4

y'(x)=\text{e}^{-1}\times \left(\text{e}^{x/5}\right)'

Posté par
Devoirs33
re : limite 19-05-23 à 18:41

5y'(x) - y(x)

Posté par
hekla
re : limite 19-05-23 à 18:43

À quoi cela est-il égal ?

Posté par
Devoirs33
re : limite 19-05-23 à 18:56

5 * e^-1* (e^x/5) - (-e^-1*e^(x/5) - 4 )

Posté par
hekla
re : limite 19-05-23 à 19:07

y'(x)=\text{e}^{-1}\times \left(\text{e}^{x/5}\right)'


on dérive \text{e}^{x/5}

  \left(\text{e}^{x/5}\right)'=\dfrac{1}{5}\text{e}^{x/5}

donc y'(x)=\dfrac{1}{5}\text{e}^{-1}\text{e}^{x/5}  et par suite

5 y'(x)- y(x)=

Posté par
Devoirs33
re : limite 19-05-23 à 19:08

je ne comprends pas. J'ai déjà écrit à 18:56

Posté par
hekla
re : limite 19-05-23 à 19:15

Non, vous n'avez rien calculé, vous avez remplacé y'(x) et y(x)  par leur définition, c'est tout.  Où avez-vous écrit ce que j'ai mis pour y'(x).

Posté par
Devoirs33
re : limite 19-05-23 à 19:22

5y'(x) - y(x) = x/5-  ( e^(-1+ x/5) + 4

Posté par
hekla
re : limite 19-05-23 à 19:38

Vous en avez oublié une partie.

5y'(x)-y(x)= \underbrace{\text{e}^{-1}\text{e}^{x/5}}_{5y'(x)}-\left( \underbrace{-\text{e}^{-1}\text{e}^{x/5}-4}_{y(x)}\right)=

Effectuez les calculs

Posté par
Devoirs33
re : limite 19-05-23 à 19:42

= 2e^(-1 + x/5) + 4

Posté par
hekla
re : limite 19-05-23 à 20:06

Désolé, j'ai omis un signe -
5y'(x)-y(x)= \underbrace{-\text{e}^{-1}\text{e}^{x/5}}_{5y'(x)}-\left( \underbrace{-\text{e}^{-1}\text{e}^{x/5}-4}_{y(x)}\right)=

on a donc :

-\text{e}^{-1}\text{e}^{x/5}+\text{e}^{-1}\text{e}^{x/5}+4=4

Conclusion

Posté par
Devoirs33
re : limite 19-05-23 à 20:31

f vérifie la solution trouvée a la question 1b)

Posté par
hekla
re : limite 19-05-23 à 20:41

f est solution de l'équation différentielle.  
La solution trouvée en 1b était y(x)=-\text{e}^{-1}\text{e}^{x/5}-4

or y(x)=-\text{e}^{-1}\text{e}^{x/5}-4=-\text{e}^{(x/5-1)}-4=f(x)
f est bien la solution trouvée en 1 b

Posté par
Devoirs33
re : limite 19-05-23 à 20:48

2b) je calcule pour quel x, f(x) s'annule ?

Posté par
hekla
re : limite 19-05-23 à 20:57

Vous avez déjà calculé la dérivée
Aucun problème pour le signe
f'(x) n'est jamais nulle

Posté par
Devoirs33
re : limite 19-05-23 à 21:00

je ne dois pas dresser de tableau de variation ?

Posté par
hekla
re : limite 19-05-23 à 21:11

Bien sûr, mais pour le dresser, il faut bien le signe de la dérivée

Posté par
Devoirs33
re : limite 19-05-23 à 21:13

je résous f(x) = -4 - e^(1/5x-1) = 0

Posté par
hekla
re : limite 19-05-23 à 21:33

En faisant cela, vous cherchez l'abscisse du point d'intersection de la courbe avec l'axe des abscisses

f'(x)=-\dfrac{1}{5}\text{e}^{x/5-1}

Posté par
Devoirs33
re : limite 19-05-23 à 21:43

je trouve x = 5

Posté par
hekla
re : limite 19-05-23 à 21:48

Pour quelle équation  ?

f'(x)=0 \quad \mathcal{S}=\emptyset

La somme de deux nombres strictement négatifs ne peut être nulle.

Posté par
Devoirs33
re : limite 19-05-23 à 21:58

Comment je peux faire pour trouver les x pour lequel la fonction f' s'annule

Posté par
hekla
re : limite 19-05-23 à 22:11

Il n'y en a pas   Une exponentielle ne s'annule jamais

vous avez ici -\frac{1}{5} \text{e}^{x/5-1} produit de deux réels jamais nuls

En traçant la courbe, vous pouvez constater  

limite

Posté par
Devoirs33
re : limite 19-05-23 à 23:19

donc de - infini à + infini la fonction est décroissante ?

Posté par
hekla
re : limite 19-05-23 à 23:26

Évidemment, puisque la dérivée est toujours strictement négative.

Posté par
Devoirs33
re : limite 19-05-23 à 23:40

lim x --> + infini
f'(x) = - infini

Posté par
hekla
re : limite 19-05-23 à 23:45

Il faudrait écrire un peu mieux

\displaystyle \lim_{x\to +\infty} f(x)=-\infty

car \displaystyle \lim_{X\to +\infty}\text{e}^X =+\infty

Posté par
Devoirs33
re : limite 20-05-23 à 10:24

je ne comprends pas pourquoi on doit aussi étudier la fonction en - infini

Posté par
hekla
re : limite 20-05-23 à 10:47

C'est bien ce qu'on vous demande : question 2 c).

La fonction étant définie sur \R , on étudie les limites aux bornes de l'ensemble de définition donc +\infty et -\infty

Posté par
Devoirs33
re : limite 20-05-23 à 11:05

lim f(x) = + infini
car lim e^x = + infini

Posté par
Devoirs33
re : limite 20-05-23 à 11:08

c'est f(x) --> - infini

Posté par
hekla
re : limite 20-05-23 à 11:16

Non
\displaystyle \lim_{x\to -\infty}\dfrac{x}{5}-1=-\infty\quad \lim_{x\to-\infty}\text{e}^{X}=0

Continuez

En regardant la courbe, on n'a vraiment pas l'impression que f tend vers +\infty  en  -\infty

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