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Limite

Posté par
flight 30-03-24 à 18:36

Bonsoir ,

je vous propose l'exercice suivant : il s'agit de calculer la limite de
(x - sinx)/x3  quand x tand vers  0

Posté par
verdurinre : Limite 30-03-24 à 18:46

Bonsoir,
je propose 10'/1°.

Posté par
Imodre : Limite 30-03-24 à 19:04

Bonsoir

Un simple développement limité

Imod

Posté par
flightre : Limite 31-03-24 à 14:06

bonjour a tous

pas compris la réponse de Verdurin

Posté par
flightre : Limite 31-03-24 à 14:09

...ahh  oui je vois ..bon ,  une minute d'angle -> 1/60 de degré et donc 10 minutes d'angles  1/6 de degré .... c'est daccord

Posté par
flightre : Limite 31-03-24 à 14:10

ceci dit aucune demonstration ...

Posté par
LittleFoxre : Limite 02-04-24 à 11:11

En appliquant la règle de l'hospital 3 fois, on arrive à:

\lim_{x\to0} \frac{x-\sin{x}}{x^3}=\lim_{x\to0} \frac{1-\cos{x}}{3x^2}=\lim_{x\to0} \frac{\sin{x}}{6x}=\lim_{x\to0} \frac{\cos{x}}{6} = \frac{1}{6}

Ou en utilisant le développement en série de MacLaurin de sin(x):

\lim_{x\to0} \frac{x-\sin{x}}{x^3}= \lim_{x\to0}  x^{-2} - \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n-2}} = \lim_{x\to0}  - \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n-2}} = \lim_{x\to0}  \frac{1}{3!} - \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+5)!}}x^{2n+2}}= \frac{1}{6} + 0

Posté par
Imodre : Limite 02-04-24 à 11:22

Sinon : sinx=x-\frac{x^3}6+o(x^4) mais bon ...

Imod

Posté par
LittleFoxre : Limite 02-04-24 à 11:43

Oui, mais c'est trop clair et joli ça...

Posté par
flightre : Limite 02-04-24 à 11:52

Bonjour , bravo à vous deux

Posté par
dpire : Limite 02-04-24 à 16:12

Bonjour,
Je trouve aussi 1/6

Posté par
flightre : Limite 08-04-24 à 04:34

1/6 c'est bien ca  , bravo

Posté par
alb12re : Limite 08-04-24 à 18:00

salut,
le probleme pourrait etre interessant si on exige une demo au niveau lycee

Posté par
Imodre : Limite 08-04-24 à 19:06

Vraiment ?

Imod

Posté par
jandri Correcteurre : Limite 08-04-24 à 19:24

Bonjour,
au niveau lycée on peut utiliser la propriété "intégration des inégalités" qui figure au programme de la spécialité math de terminale.

Sur l'intervalle [0,\pi/2] on part de 0\le\cos t\le 1 et on intègre de 0 à x pour obtenir 0\le\sin x\le x.

Puis on intègre de 0 à x pour obtenir 0\le1-\cos x\le x^2/2.

Puis on intègre de 0 à x pour obtenir 0\le x-\sin x\le x^3/6.

Puis on intègre de 0 à x pour obtenir 0\le x^2/2-1+\cos x\le x^4/24.

Puis on intègre de 0 à x pour obtenir 0\le x^3/6-x+\sin x\le x^5/120.

Il n'y a plus qu'à diviser par x^3 et faire tendre x vers 0.

On n'a pas besoin de traiter le cas x<0 puisque la fonction dont on recherche la limite est paire.

Posté par
alb12re : Limite 08-04-24 à 19:33

Oui c'est parfait
On peut faire une démo niveau première en dérivant mais il faut donner l'expression a priori ou la conjecturer

Posté par
Imodre : Limite 08-04-24 à 19:47

Mon interrogation portait plutôt sur l'intérêt d'un tel exercice à ce niveau

Imod


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