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limite
bonjour
Démontrer que, pour tout réel x positif :
ln(1+x) ⩽ x
On pourra étudier la fonction g définie sur [0 ; +∞[ par :
g(x) = x − ln(1+x)
j'ai su faire l'exercice en calculant g'(x)=x/(1+x) positif si x
0
ce n'est pas demandé mais peut on lever l'indétermination de la limite de g en +00?
merci
il y a d'autres questions
voici l'ex dans son intégralité
Soit f la fonction définie sur [0 ; +∞[ par :
f (x) = x +
On note (C ) la courbe représentative de f dans un repère
orthonormé (O ; i ; j ).
Partie A
1 Étudier les variations de la fonction f sur [0 ; +∞[.
2 Déterminer la limite de f en +∞.
Partie B
On considère la suite (un) n⩾1 à termes positifs définie par :
u1 = 0 ; un+1 = f (un) = un +
1 Démontrer que, pour tout réel x positif :
ln(1+x) ⩽ x
On pourra étudier la fonction g définie sur [0 ; +∞[ par :
g(x) = x − ln(1+x)
2 En déduire que, pour tout entier naturel n non-nul :
ln(n+1) ⩽
3 Démontrer que, pour tout entier naturel n non nul :
f [ ln(n)] =
4 Démontrer par récurrence que, pour tout entier n non nul ln(n)
un
en déduire la limite de la suite un n1
comment traiter la question 2 merci
pour la 2 j'ai essayé de résoudre
je m'étonne du domaine de résoltion 
n
0
<0
en dérivant je trouve que la fonction est décroissante sur ]0;+oo[
mais il faudrait déterminer la limite quand x tend vers 0?
merci de votre aide
j'ai su faire la 3 pas la 2
j'ai commencé la 4
en montrant que la propriété est vraie au rang 1
on suppose donc que ln(k) uk
d'après 2 :
ln(k+1)
si j'utilise le sens de variation de f on a
f(ln(k))uk+1
Bonjour,
Un coup de pouce en attendant le retour de carpediem :
Il ne s'agit pas de résoudre, mais de démontrer.
Et aussi d'utiliser l'inégalité ln(1+x) < x
où la variable
x
figure deux fois alors que dans l'inégalité à démontrer, la variable
n
figure trois fois.
Essaye de transformer ln(n+1) - ln(n)
pour que n figure une fois de moins.
Je ne comprends pas ce qui t'étonne.
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