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Posté par
alb12
re : Limite à l'infini 10-04-22 à 22:36

dans ce doc on lit:

"Sans plus tarder, supposons que leur limite en 0 existe.
Remarque : Il est important de noter ici l'hypothèse de l'existence des limites. En effet, sans cette hypothèse, les manipulations algébriques sur les limites dont nous serons amenés à effectuer n'auraient aucun sens. Et à ce propros, si nous souhaitions produire une preuve complètement rigoureuse de la détermination de la limite en 0 de ces fonctions, il faudrait alors montrer au préalable l'existence des limites cherchées."

l'auteur a donc demontré le theoreme suivant:

si (ln(1+x)-x)/x^2 a une limite en 0 alors cette limite est -1/2

la convergence n'est donc pas prouvée.

Posté par
malou Webmaster
re : Limite à l'infini 11-04-22 à 11:27

Bonjour à tous,

oui alb12, et de mémoire je crois que c'est lake qui avait fait exactement cette même remarque quand il avait découvert la fiche il y a quelques années...

après si ça vous tente, vous pouvez ouvrir un fil dans "amélioration de fiches" si tant est qu'on arrive à faire quelque chose de propre au niveau terminale...

Posté par
lake
re : Limite à l'infini 11-04-22 à 20:01

Bonsoir malou

Quelle mémoire !   Suite au message de alb12 (à qui je ne donne pas tort), je n'avais pas voulu en rajouter mais je me souviens très bien de la remarque à laquelle tu fais allusion.
Ça date !

Posté par
alb12
re : Limite à l'infini 12-04-22 à 17:35

Proposition pour la classe de terminale

Objectifs
Trouver la limite de (ln(1-X)+X)/X^2 quand X tend vers 0 moins
Trouver la limite de x^2*ln(1-1/x)+x quand x tend vers moins l'infini

Partie A: Conjectures avec calculatrice et grapheur
1/ Conjecturer la limite de (ln(1-X)+X)/X^2 quand X tend vers 0 moins
2/ Determiner graphiquement un reel a tel que
pour tout reel X<=0, 0<=(ln(1-X)+X)/X^2+1/2<=aX

Partie B: Demonstrations
1/ Montrer que pour tout reel X <=0, 0<=ln(1-X)+X+X^2/2<=-X^3
On etudiera les variations de deux fonctions
2/ En deduire la limite de (ln(1-X)+X)/X^2 quand X tend vers 0 moins
3/ En deduire la limite de x^2*ln(1-1/x)+x quand x tend vers moins l'infini

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