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Niveau Maths sup
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limite (bio sup)

Posté par yonyon (invité) 04-10-05 à 19:05


Bonjour, j'ai un problème pour calculer une limite:
limite en +oo de (ln (1+x)/lnx))^xlnx
J'ai transformé l'expression avec une exponentielle:
exp (ln (ln(1+x)/lnx) xlnx)

J'étudie ensuite la limite en +oo de (ln (ln(1+x)/lnx) xlnx)
donc (ln (ln(1+x)/lnx) xlnx)=ln ((lnx+ln(1+1/x))/lnx)xlnx
= ln (1+ln (1+1/x)/lnx)xlnx

mais je ne vois pas comment simplifier et m'en sortir.
Pour tout vous dire cette limite est le dernier exo que j'ai eu en colle de maths hier soir mais le colleur était pressé ayant encore une colle après nous, m'a dit de le finir seule. Ce que j'ai fait jusque là semble donc être bon puisqu'il m'a dit que j'étais bien partie. Cependant je ne vois pas comment continuer
Merci d'avance pour votre aide

Posté par darwyn (invité)re : limite (bio sup) 04-10-05 à 19:09

Tu peux utiliser les dévelloppements limités.
Tu as ln(1+x)~x au voisinnage de zéro. Tu peux utiliser ça.

Posté par yonyon (invité)re : limite (bio sup) 04-10-05 à 21:11

Merci beaucoup pour votre aide mais le problème est que nous n'avons pas encore vu les developpements limités.

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : limite (bio sup) 05-10-05 à 01:19

Bonsoir yonyon,bonsoir darwyn;
on pourrait remarquer que:
3$\fbox{(\forall x>1)\hspace{5}\frac{ln(x+1)}{ln(x)}=1+\frac{ln(1+\frac{1}{x})}{ln(x)}} et vu que 3$\fbox{\lim_{x\to+\infty}\underb{\frac{ln(1+\frac{1}{x})}{ln(x)}}_{X}=0} on peut écrire:
4$\fbox{(\frac{ln(x+1)}{ln(x)})^{xln(x)}=e^{xln(x)ln(1+X)}=e^{xln(1+\frac{1}{x})\frac{ln(1+X)}{X}=e^{\frac{ln(1+\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}}\frac{ln(1+X)}{X}} et vu que 4$\fbox{\lim_{x\to+\infty}\frac{ln(1+\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}}=\lim_{x\to+\infty}\frac{ln(1+X)}{X}=1} on voit finalement que:
5$\blue\fbox{\lim_{x\to+\infty}(\frac{ln(x+1)}{ln(x)})^{xln(x)}=e}

Sauf erreurs bien entendu


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