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limite d'intégrale

Posté par
perc200
21-04-17 à 13:31

Bonjour,
comment calculer la limite de l'intégrale suivante quand p tends vers 0 (p est un réel positif):
01 2pf(x)/(p2+x2)dx    où f est une fonction continue de [0,1] dans
intégrale entre 0 et 1 de 2pf(x) divisé par (p2+x2)

Posté par
carpediem
re : limite d'intégrale 21-04-17 à 14:51

salut

ben il risque d'y avoir un pb en (la borne) 0 puisque quand p tend vers 0 on va avoir du environ 0/0 ...

Posté par
ezmaths
re : limite d'intégrale 22-04-17 à 13:57

si f est dérivable : \int_0^1 \frac{2p}{p^2+x^2} f(x) dx = \frac{1}{\pi} \left[ \log \frac{1+p^2}{p^2} - \int_0^1 f'(x) \log (p^2+x^2) dx \right] ...

Posté par
ezmaths
re : limite d'intégrale 22-04-17 à 14:07

je me suis trop loupé sur le post précédent ... désolé, voici une réponse + honnête :

\int_0^1 \frac{2p}{p^2+x^2} f(x) dx = \frac{2}{\pi} \left[ f(1) \arctan \frac{1}{p} - \int_0^1 f'(x) \arctan \frac{x}{p} dx \right] ... si on ne sait rien sur une éventuelle expression de f, on ne peut guère aller + loin ...

Posté par
luzak
re : limite d'intégrale 22-04-17 à 15:27

Bonjour !
Avec l'hypothèse de ezmaths (mais dérivable ne suffit pas pour une intégration par parties) : f de classe C^1 il reste à résoudre un problème de limite sous signe intégral.

Or x\in]0,1]\implies\lim_{p\to0}f'(x)\arctan\frac xp=\dfrac{\pi}2 f'(x) et si x=0 la limite est nulle. Limite simple non continue mais c'est sans importance !
La fonction est, en valeur absolue, majorée sur l'intervalle par la fonction intégrable x\mapsto \dfrac{\pi}2|f'(x)| .
Par convergence dominée on a donc \lim_{p\to0}\int_0^1f'(x)\arctan\frac xp\mathrm{d}x=\dfrac{\pi}2\int_0^1f'=\dfrac{\pi}2\left( f(1)-f(0)\right)

Posté par
carpediem
re : limite d'intégrale 22-04-17 à 15:32

peut-être en utilisant le théorème de la moyenne :

g(x) = \frac {2p}{p^2 + x^2} est positif sur [0, 1]

donc il existe u dans [0, 1] tel que \int_0^1 g(x)f(x)dx = f(u) \int_0^1 g(x) dx = f(u) [\arctan (\frac x p)]_0^1

puis faire tendre p vers 0 ...

Posté par
luzak
re : limite d'intégrale 22-04-17 à 15:56

Bonjour carpediem !
Mais ton u dépend de p !!!

Voici une solution sans besoin de dériver f :
Par changement de variables x=pu, z(p)=\int_0^1\dfrac {p}{p^2+x^2}f(x)\mathrm{d}x=\int_0^{1/p}\dfrac{f(pu)}{1+u^2}\mathrm{d}u.

Puisque |f| est majorée par M sur [0,1] la fonction u\mapsto\dfrac{f(pu)}{1+u^2} est intégrable sur \R_+.

Ainsi z(p)=\int_0^{+\infty}\dfrac{f(pu)}{1+u^2}\mathrm{d}u-\int_{1/p}^{+\infty}\dfrac{f(pu)}{1+u^2}\mathrm{d}u.

La valeur absolue de la deuxième intégrale se majore par \int_{1/p}^{+\infty}\dfrac{M}{1+u^2}\mathrm{d}u de limite nulle pour p=0.

Quant à la première le théorème de convergence dominée s'applique et donne la limite f(0)\int_0^{+\infty}\dfrac{\mathrm{d}u}{1+u^2}=f(0)\dfrac{\pi}2.

Finalement la limite cherchée est f(0).

Posté par
ezmaths
re : limite d'intégrale 22-04-17 à 18:03

mea culpa : même pas vu que c'était une question avec p \to 0^+ ... quand ce n'est pas écrit en format maths, ce n'est pas super visible dans l'énoncé ...

avec p \to 0^+, il est clair que c'est un exercice de type distributions ... puisqu'est cachée la distribution de Lorentz (également nommée Cauchy-Lorentz), celle-ci valant le \delta de Dirac à un facteur près ...

Posté par
carpediem
re : limite d'intégrale 22-04-17 à 18:25

luzak @ 22-04-2017 à 15:56

Bonjour carpediem !
Mais ton u dépend de p !!!


ha oui ... bien vu ... et bien vu pour ta solution ..

... ha non peut-être pas ...

il me semble qu'il y a un pb dans
Citation :
Ainsi z(p)=\int_0^{+\infty}\dfrac{f(pu)}{1+u^2}\mathrm{d}u-\int_{1/p}^{+\infty}\dfrac{f(pu)}{1+u^2}\mathrm{d}u.
puisque pu n'appartient pas forcément à [0, 1] vu les bornes d'intégration ...

Posté par
ezmaths
re : limite d'intégrale 22-04-17 à 18:40

pu \in [0,1] \Longrightarrow u \in \left[0,\frac{1}{p}\right[ ... et on a bien \int_0^{\frac{1}{p}}=\int_{\mathbb{R^+}}-\int_{\frac{1}{p}}^{+\infty} ...

Posté par
ezmaths
re : limite d'intégrale 22-04-17 à 18:44

en fait, au lieu d'écrire le 2ème terme à droite, il est préférable de passer à la limite ... ce qui évite de parler de u dans la zone \geq \frac{1}{p} ...

Posté par
luzak
re : limite d'intégrale 22-04-17 à 22:58

Bonsoir !

Citation :

il me semble qu'il y a un pb dans
Citation :
Ainsi z(p)=\int_0^{+\infty}\dfrac{f(pu)}{1+u^2}\mathrm{d}u-\int_{1/p}^{+\infty}\dfrac{f(pu)}{1+u^2}\mathrm{d}u.
puisque pu n'appartient pas forcément à [0, 1] vu les bornes d'intégration ...


Je reviens sur ma démo.
Il faut définir g_p par g_p(u)=\dfrac{f(pu)}{1+u^2} si pu\leqslant 1 et g_p(u)=0 sinon.

La fonction g_p est bien intégrable sur \R_+, de limite simple une fonction intégrable et le théorème de convergence dominée s'applique.

Posté par
perc200
re : limite d'intégrale 23-04-17 à 07:54

Bonjour,
Merci beaucoup pour votre aide.
Cordialement.

Posté par
carpediem
re : limite d'intégrale 23-04-17 à 10:21

ça me gène toujours parce que la deuxième intégrale est donc nulle ...

Posté par
luzak
re : limite d'intégrale 23-04-17 à 10:38

Il n'y a plus de "deuxième" intégrale.

Car par définition de g_p on a \int_0^{1/p}\dfrac{f(pu)}{1+u^2}\,\mathrm{d}u=\int_0^{1/p}g_p=\int_0^{+\infty}g_p

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