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Niveau terminale
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Limite d'une fonction

Posté par
Ts2
10-06-25 à 20:42

Bonjour j'ai besoin d'aide sur le calcul d'une limite : lim_x_\rightarrow_1 \frac{ \sqrt{|x³|-1}}{x-1} merci.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Limite d'une fonction 10-06-25 à 20:55

Bonjour,
Quelques pistes :
Au voisinage de 1, on a x > 0 ; on peut donc enlever la valeur absolue.
On peut factoriser |x|3 - 1 en utilisant la factorisation de a3 - b3.
Enfin, selon que x <1 ou x < 1, on a x-1 = (x-1)2 ou x-1 = -(x-1)2

Posté par
Ts2
re : Limite d'une fonction 10-06-25 à 23:43

Bonjour j'ai pas trop compris et ici vous avez fait une erreur je pense vous avez mis deux fois la même chose

Enfin, selon que x <1 ou x < 1,

Posté par
carpediem
re : Limite d'une fonction 11-06-25 à 06:46

salut

et en terminale ne sais-tu pas corriger l'erreur de frappe de Sylvieg ?

revois alors la définition de la racine carrée ... à la veille du bac ça peut être utile !

Posté par
carpediem
re : Limite d'une fonction 11-06-25 à 06:50

et j'ai oublié !!

une autre méthode :

au voisinage de 1    \dfrac {\sqrt {|x|^3 - 1}}{x - 1} = \dfrac {\sqrt {x^3 - 1} - \sqrt {1^3 - 1}}{x - 1}

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Limite d'une fonction 11-06-25 à 08:00

Bonjour carpediem,
Pas disponible une bonne partie de la journée, merci de continuer à suivre.

Posté par
Ts2
re : Limite d'une fonction 11-06-25 à 17:02

Bonjour carpediem desolé mais je ne vois pas ou vous voulez en venir avec votre méthode et aussi quelle erreur de racine carrée parlez vous ?

Posté par
Ts2
re : Limite d'une fonction 11-06-25 à 17:06

Je crois que la première méthode me paraît plus facile, est ce que vous pouvez m'éclairer là-dessus
NB: on doit calculer la limite à gauche et à droite

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Limite d'une fonction 11-06-25 à 17:33

Bonsoir,
Je corrige ma coquille :

Citation :
selon que x >1 ou x < 1, on a x-1 = (x-1)2 ou x-1 = -(x-1)2

J'ai aussi parlé de factoriser |x|3 - 1 en utilisant la factorisation de a3 - b3.
L'as-tu fait ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Limite d'une fonction 11-06-25 à 17:37

Es-tu certain que ce n'est pas lim_x_\rightarrow_1 \frac{ \sqrt{|x^3-1|}}{x-1} dans l'énoncé ?
Avec ce que tu as écrit, l'expression n'est pas définie à gauche de 1.

Posté par
Ts2
re : Limite d'une fonction 11-06-25 à 17:53

Oui sûr c'est correct l'expression
Mais pour elle n'ai pas définie à gauche de 1

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Limite d'une fonction 11-06-25 à 18:08

L'expression  \sqrt{|x^3|-1} n'est définie que pour |x^3|-1 \geq 0.
Pour x proche de 1 et inférieur à 1, on a |x^3|-1 < 0.

Posté par
carpediem
re : Limite d'une fonction 11-06-25 à 20:29

désolé je rentre de la baignade ...

effectivement la valeur absolue n'a guère d'intérêt lorsqu'on travaille au voisinage de 1... (*)
peut-être une coquille dans l'énoncé ? qui vient d'où, d'ailleurs ?

indépendamment de (*) par définition de la racine carrée il faut effectivement x > 1.

pour en revenir à ma méthode posons f(x) = \sqrt {x^3 - 1} et reconnais dans ce que j'ai écrit quelque chose que tu as vu en première.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Limite d'une fonction 12-06-25 à 08:32

@carpediem,
Moi non plus je ne vois pas où tu veux en venir.
Ta fonction f n'est pas d... en 1.

Posté par
carpediem
re : Limite d'une fonction 12-06-25 à 13:43

c'est le taux de variation \frac {f(x) - f(1)}{x - 1}

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Limite d'une fonction 12-06-25 à 13:46

Oui, mais on en fait quoi ?

Posté par
candide2
re : Limite d'une fonction 12-06-25 à 14:18

Ts2 @ 11-06-2025 à 17:06

Je crois que la première méthode me paraît plus facile, est ce que vous pouvez m'éclairer là-dessus
NB: on doit calculer la limite à gauche et à droite


Ben oui, c'est bien là qu'il faut un rien réfléchir.

La limite à gauche de 1 n'existe pas car ...

La limite à droite de 1  peut être déterminée...

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Limite d'une fonction 12-06-25 à 14:33

Bonjour candide2,
Nous sommes déjà deux à intervenir sur ce sujet et Ts2 n'a pas encore réagi aux réponses de ce jour.
Merci de patienter pour intervenir.

Posté par
candide2
re : Limite d'une fonction 12-06-25 à 19:57

Bonjour Sylvieg,

On ne peut donc plus intervenir quand on juge les aides apportées pas très bonnes ?

Si je vois bien il y a de l'aide de 2 sources et l'une des sources ne comprend pas celle de la première source...
C'est juste ce qu'il faut pour perdre le poseur de question.

Et je constate qu'aucune aide n'avait réagi à la phrase que j'ai "rougie" dans mon intervention ... alors que pour moi elle est primordiale.

Mais je ne vois pas d'inconvénient à ce que ma réponse soit supprimée ...

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Limite d'une fonction 13-06-25 à 08:06

Sylvieg @ 11-06-2025 à 18:08

L'expression  \sqrt{|x^3|-1} n'est définie que pour |x^3|-1 \geq 0.
Pour x proche de 1 et inférieur à 1, on a |x^3|-1 < 0.

Posté par
carpediem
re : Limite d'une fonction 14-06-25 à 11:56

le posteur a l'air d'avoir disparu donc pour répondre à

Sylvieg @ 12-06-2025 à 13:46

Oui, mais on en fait quoi ?

on reconnait donc un taux de variation qui admet une limite pour tout x > 1 et qui vaut donc f'(x) = \dfrac {3x^2}{2 \sqrt {x^3 - 1}}

et ce taux de variation tend vers +oo quand x tend vers 1 donc ...

(ce raisonnement est tout à fait acceptable en terminale)

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Limite d'une fonction 14-06-25 à 13:47

Bof...



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