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Limite d'une fonction

Posté par
Ts2 16-06-25 à 18:21

Bonjour j'ai besoin d'aide sur cette limite merci
lim_x_\rightarrow_\frac{\pi}{4} \frac{cos(\frac{\pi}{4}-x) -tanx(x)}{1-sin(\frac{\pi}{4}+x)}

Posté par
Kohlere : Limite d'une fonction 16-06-25 à 19:02

Bonjour,
Dans ce genre de situation, il est toujours souhaitable, pour clarifier la situation, de se ramener à une limite en 0 en posant h=x-\dfrac{\pi}{4}
Mais il y  a autre chose; que signifie cette notation dans ton expression :
tanx(x) ?

Posté par
Ts2re : Limite d'une fonction 16-06-25 à 19:07

Erreur c'est tan(x) tout court, ok je fais ça et je reviens

Posté par
Ts2re : Limite d'une fonction 16-06-25 à 20:20

Bonjour vous pouvez me donner un tuyau parce que je suis bloqué après avoir fait ce que vous m'avez dit je suis encore tombé sur une forme indéterminée

Posté par
Kohlere : Limite d'une fonction 17-06-25 à 00:58

Bonsoir,

Citation :
je suis encore tombé sur une forme indéterminée

C'est normal.
Pour te donner des indications, il serait utile que tu nous communiques ce que tu as obtenu (une expression qui ne dépend que de h)

Posté par
Ts2re : Limite d'une fonction 17-06-25 à 08:40

Bonjour, merci pour tout j'ai réussi à trouver le résultat on trouve -1 j'ai réussi à transformer l'expression après avoir fait le changement de variable que vous m'avez conseillé mais à la base moi même j'avais posé X=π/4 -x

Posté par
Kohlere : Limite d'une fonction 17-06-25 à 09:15

Curieux : j''étais tombé sur +\infty ou -\infty suivant que x\to \dfrac{\pi}{4} par valeur inférieure ou supérieure.
J'ai pu me tromper bien sûr mais sans détails de tes calculs on ne saura jamais ce qu'il en est ...

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Limite d'une fonction 17-06-25 à 09:28

Bonjour,
Je confirme les limites infinies

Posté par
Kohlere : Limite d'une fonction 17-06-25 à 09:33

Bonjour Sylvieg et merci : j'avais bien besoin de ta confirmation

Posté par
Kohlere : Limite d'une fonction 17-06-25 à 15:19

Juste pour la petite histoire :
Après avoir posté ce matin à 9h15, j'ai voulu vérifier avec GeoGebra en rentrant la fonction originale de Ts2 :
Limite d\'une fonction
Catastrophe : +\infty des deux côtés de \dfrac{\pi}{4}. Je me suis planté mais où ??? (après deux calculs différents qui donnaient le même résultat).
Et puis j'ai "dézoomé"
Limite d\'une fonction

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Limite d'une fonction 17-06-25 à 22:03

Sans vouloir trop en dire, voici ce que j'ai utilisé pour me débarrasser d'une forme indéterminée :

\dfrac{sin(h)}{1-cos(h)} = \dfrac{1+cos(h)}{sin(h)}

Posté par
Kohlere : Limite d'une fonction 18-06-25 à 00:12

Idem

Posté par
Ts2re : Limite d'une fonction 18-06-25 à 17:35

Bonjour ce que j'ai fait c'est juste que j'ai simplifié l'expression jusqu'à avoir une expression avec cosx et six seulement puis le quotient donne -1 c'est tout

Posté par
Greyyre : Limite d'une fonction 18-06-25 à 17:36

Bonjour, je me permets de relancer le sujet car je tombe également sur -1

Après changement de variable et développement de 1-(sin(h+pi/2)) au dénominateur je tombe sur \frac{\cos(h) - \tan\left(h + \frac{\pi}{4}\right)}{1 -cos(h)}

Ce qui m'empêche d'avancer. Je ne comprends pas comment vous parvenez à sin h au numérateur.

Merci beaucoup et bonne fin de journée.

Posté par
Greyyre : Limite d'une fonction 18-06-25 à 17:37

Erratum je ne tombe pas sur-1 mais sur une forme indéterminée.

Posté par
Ts2re : Limite d'une fonction 18-06-25 à 17:39

J'ai utilisé les formules Trigo pour me débarrasser de la tangente

Posté par
Ts2re : Limite d'une fonction 18-06-25 à 17:46

Bonjour mais ici comment vous avez procédé après le changement de variable pour obtenir des limites infini

Kohle @ 17-06-2025 à 09:33

Bonjour Sylvieg et merci : j'avais bien besoin de ta confirmation

Posté par
Greyyre : Limite d'une fonction 18-06-25 à 17:49

En développant avec les formules de trigo je retombe sur 1 et obtiens donc au numérateur du cos(h)+sin(h) sur cos(h)-sin(h) a la place de tan(h+pi/4)

Posté par
Greyyre : Limite d'une fonction 18-06-25 à 17:51

Erratum :à nouveau : je ne retombe pas sur 1. Concernant les limites infinies si l'expression obtenue finale est bien celle du membre de droite de Sylvieg on obtient 2/0 quand h tend vers 0 il me semble.

Posté par
Kohlere : Limite d'une fonction 18-06-25 à 18:00

Bonjour,
J'utilise ton changement de variable h=\dfrac{\pi}{4}-x
En principe, tu dois tomber sur ceci :

g(h)=\dfrac{\cos^2h+\sin\,h\,\cos_,h-\cos\,h+\sin\,h}{(1-\cos\,h)(\cos\,h+\sin\,h)}=\dfrac{\cos\,h\,(\cos\,h-1)+\sin\,h\,(\cos\,h+1)}{(1-\cos\,h)(\cos\,h+\,sin\,h)}

g(h)=-\dfrac{\cos\,h}{\cos\,h+\sin\,h}+\dfrac{1+\cos\,h}{\cos\,h+\sin\,h}\,\dfrac{\sin\,h}{1-\cos\,h}
La forme indéterminée vient du dernier rapport où tu utilises ce qu'à écrit Sylvieg à 22h03.

Posté par
Greyyre : Limite d'une fonction 18-06-25 à 18:31

Rebonjour, j'ai bien utilisé le changement de variable h=x-pi/4
Je vous épargne le développement du dénominateur par les formules de trigo.

\frac{\cos(-h) - \tan\left(h + \frac{\pi}{4}\right)}{1 - \cos(h)} \\ = \frac{\cos(h) - \tan\left(h + \frac{\pi}{4}\right)}{1 - \cos(h)} \\ = \frac{\cos(h)\cos \left(h + \frac{\pi}{4}\right)- \tan\left(h + \frac{\pi}{4}\right)}{1 - \cos(h)\cos \left(h + \frac{\pi}{4}\right)}  
Ceci tend vers Racine(2)/0
Est ce juste?

Posté par
Greyyre : Limite d'une fonction 18-06-25 à 18:33

Erratum : remplacer le dernier tan par un + sin(h+pi/4)). Cecidemebt j'ai vraiment du mal ce soir

Posté par
Kohlere : Limite d'une fonction 18-06-25 à 18:45

Bonjour,
Je ne comprends pas : la 3ème ligne est manifestement fausse.

Posté par
Kohlere : Limite d'une fonction 18-06-25 à 18:50

Et même : il faut aussi remplacer le 1 par \cos\left(h+\dfrac{\pi}{4}\right)

Tu n'échappes pas à la forme indéterminée de départ comme ça.

Posté par
carpediemre : Limite d'une fonction 18-06-25 à 18:57

salut

\dfrac {\cos \left( \dfrac \pi 4 - x \right) - \tan x} {1 - \sin \left( \dfrac \pi 4 + x \right) } = \dfrac {\dfrac \pi 4 - x}{1 - \sin \left( \dfrac \pi 4 + x \right) } \left[ \dfrac {1 - \tan x} {\dfrac \pi 4 - x} - \dfrac {1 - \cos \left( \dfrac \pi 4 - x \right)} {\dfrac \pi 4 - x} \right]

Posté par
Kohlere : Limite d'une fonction 18-06-25 à 19:02

Bonjour,
Bof...
Faire des acrobaties pour arriver à des taux de variation ne me semble pas lumineux ...

Posté par
Ts2re : Limite d'une fonction 18-06-25 à 19:34


Bonsoir ,Si vous permettez je parle pour tout le monde,je vais détailler , vous allez comprendre d'où vient le -1 que j'ai trouvé
On a : lim_x_\rightarrow_\frac{\pi}{4} \frac{cos(\frac{\pi}{4}-x)-tanx}{1-sin(\frac{\pi}{4}+x)}
Ici je pose X=\frac{\pi}{4}-x on obtient alors
lim_X_\rightarrow_0 \frac{cosX -tanx(\frac{\pi}{4}-X)}{1- sin(\frac{\pi}{2}-X)} vous êtes d'accord n'est ce pas ?
Alors ensuite on applique une formule trigonométrique tan(a-b)=\frac{tana-tanb}{1+tana.tanb} on fait ça pour l'expression avec tan(...) ok

Posté par
Ts2re : Limite d'une fonction 18-06-25 à 19:50

On a: tan(\frac{\pi}{4}-X)= \frac{1-tanX}{1+tanX}} on est d'accord et si on remplace sin(\frac{\pi}{2}-X) en s'appuyant d'une formule Trigo par cosX  et en développement le numérateur on obtient
lim_X_\rightarrow_0 \frac{cosX +sinX-tanX-1}{(1-cosX)(1+tanX)} vous suivez le raisonnement puis on développe le dénominateur on obtient -(cosX+sinX-tanX-1) on fait le quotient on trouve\boxed{ -1 } et limite d'une constante donne toujours une constante , vous en dites quoi ?

Posté par
fph67re : Limite d'une fonction 18-06-25 à 20:33

Bonsoir,

J'en dit qu'au numérateur -(1-tan(x))=-1+tan(x) et pas -1-tan(x)

Posté par
Ts2re : Limite d'une fonction 18-06-25 à 20:52

Ok j'ai fait une erreur de signe ça gâche tout on revient à une forme indéterminée et donc qu'est ce que tu proposes ?

Posté par
Ts2re : Limite d'une fonction 18-06-25 à 20:53

Bonjour de même,j'oublie les bonnes manières

Posté par
Greyyre : Limite d'une fonction 19-06-25 à 17:46

Bonjour, j'ai pas mal de travail en ce moment mais je trouve que c'est un excellent exercice pour réviser limités et manipuler les formules trigonométriques. Je vais me pencherai dessus à nouveau très bientôt. Pour répondre à Kohle, oui elle est fausse mais j'ai corrigé par mon message d'après qui est juste je crois.  Mon problème est justement de retomber sur une F.I et je ne sais pas comment manipuler ce cos…

Posté par
Ts2re : Limite d'une fonction 19-06-25 à 18:44

Greyy @ 19-06-2025 à 17:46

Bonjour, j'ai pas mal de travail en ce moment mais je trouve que c'est un excellent exercice pour réviser limités et manipuler les formules trigonométriques. Je vais me pencherai dessus à nouveau très bientôt. Pour répondre à Kohle, oui elle est fausse mais j'ai corrigé par mon message d'après qui est juste je crois.  Mon problème est justement de retomber sur une F.I et je ne sais pas comment manipuler ce cos…

Effectivement après avoir refait l'exercice on trouve+\infty et -\infty mais effectivement c'est un bon exo pour réviser et remanier les formules comme tu dis mais tu peux encore te pencher la dessus car c'est très intéressant et posté ta solution ici à très bientôt


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