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limite d'une fonction en 0

Posté par miss jacky (invité) 19-09-06 à 09:58

bonjour, j'ai un exercice sur les limites de fonctions et je bloque pour la limite en 0 alors que je sais faire en + et -infinie.
voilà mon exercice:
Dans chacun des cas suivants, étudier la limite de la fonction f en 0.

a)  f(x)= 3-(1/x²)
    lim 3=3       lim   -1/x²=0 (enfin je ne suis pas sure!)
    donc lim f(x) serait égale à 3  (est ce ça?)

        
    

b)  f(x)=(exp(x)-1)/x
     als là, aucune idée!


c)  f(x)= (x²-5x)/x
    je trouve une forme indéterminée!



svp aidez moi!je vous en remercie d'avance!
bonne journée

Posté par
spmtbre : limite d'une fonction en 0 19-09-06 à 10:05

bonjour
a) pas du tout
si x tend vers o , alors-1/x² tend vers - infini
b)c est du cours ou alors pense a la definition de la derivee en un point , en l' occurence x = 0 pour la fonction exp
c) et si tu factorisais le "haut" ? ca se simplifierait bien!!!

Posté par
spmtbre : limite d'une fonction en 0 19-09-06 à 10:07

remarques : pour le 2) jespere que tu trouveras 1
et pour le 3 ,tu trouveras  -5

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : limite d'une fonction en 0 19-09-06 à 10:42

Bonjour,

Ci-dessous quelques méthodes.

Comme le propose spmtb...

Pour b), tu peux regarder la méthode (2).

Pour c), la méthode (1), en factorisant par x.

**

Les méthodes ci-dessous permettent de lever la plupart des indéterminations vues au lycée. Il peut arriver qu'il soit nécessaire d'en combiner plusieurs, ou encore que plusieurs permettent indépendamment de résoudre l'exercice.

(1) factoriser le numérateur et le dénominateur par le terme de plus haut degré

Quand 3$x\to +\infty, 3$\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}=\frac{|x|}{x}\frac{\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}{1}\to 1

(2) [à condition d'avoir déjà vu en cours la notion de dérivée] reconnaître le taux d'accroissement d'une fonction

Quand 3$x\to 0, 3$\displaystyle\frac{\cos{x^2}-1}{x^2}=\frac{\cos{x^2}-\cos 0}{x^2-0}\to \cos '0=-\sin 0=0

(3) multipler par la quantité conjuguée (surtout en cas de racines)

Quand 3$x\to +\infty, 3$\sqrt{x^2+1}-x=\frac{(\sqrt{x^2+1}-x)(\sqrt{x^2+1}+x)}{\sqrt{x^2+1}+x}=\frac{x^2+1-x^2}{\sqrt{x^2+1}+x}=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}+x}\to 0

(4) dans le cas de la limite en un réel d'une fraction de polynômes, factoriser numérateur et dénominateur

Quand 3$x\to 1, 3$\frac{x^4+x^3-2}{x^3+x^2-2}=\frac{(x-1)(x^3+2x^2+2x+2)}{(x-1)(x^2+2x+2)}=\frac{x^3+2x^2+2x+2}{x^2+2x+2}\to\frac{7}{5}

(5) utiliser les formules trigonométriques

Quand 3$x\to 0, 3$\frac{\sin\left(\frac{\pi}{4}+x\right)-\sin\left(\frac{\pi}{4}-x\right)}{x}=\frac{2\cos\frac{\pi}{4}\sin x}{x}\to\sqrt{2}
Remarque : sur cet exemple, on aurait également pu utiliser la méthode (2).

(6) reconnaître une limite connue

Quand 3$x\to +\infty, 3$x^2\sin{\frac{2}{x^2}}=2\frac{\sin{\frac{2}{x^2}}}{\frac{2}{x^2}}\to 2

Exemples de limites connues :
3$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1, 3$\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}, 3$\lim_{x\to +\infty}\frac{\ln x}{x}=0, 3$\lim_{x\to 0^+}x\ln x=0

(7) [hors programme] Règle de L'Hospital
Théorème. Soit a un point d'un intervalle I non réduit à a. Soient f et g deux fonctions définies sur I\setminus\{a\} (et même éventuellement sur I tout entier mais ce n'est pas indispensable) et dérivables en tout point de l'intérieur de I\setminus\{a\}. Si :
(i) f et g tendent toutes deux vers 0 ou toutes deux vers l'infini en a, et
(ii) g' ne s'annule pas sur I\setminus\{a\},
alors il existe un voisinage V de a tel que g ne s'annule pas sur V\cap I\setminus\{a\}, et, sous réserve d'existence de la limite de droite :
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}
Dans le cas où a serait l'extrémité gauche (resp. droite) de I, ces deux limites sont à entendre comme des limites à droite (resp. à gauche).
(merci à Tigweg pour l'aide précieuse apportée à la formulation de ce théorème )

Nicolas

Posté par
spmtbre : limite d'une fonction en 0 19-09-06 à 11:57

Ce theoreme (Règle de L'Hospital) est helas tombe en désuétude dans nos programmes de lycee et est par contre en vogue dans certains pays
Bonne journee Nicolas

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : limite d'une fonction en 0 19-09-06 à 13:30

Bonne journée, spmtb

Posté par miss jacky (invité)re : limite d'une fonction en 0 19-09-06 à 18:44

merci à vs!
donc pour a) je trouve lim 3=3 et lim -1/x²=-oo
donc lim f(x)= -oo  (qd  x tend vers 0!)
est cela?

par contre pour la b) je vois pas!


merci pour vos reponses!

Posté par
spmtbre : limite d'une fonction en 0 19-09-06 à 21:46

bonsoir missjackie
b)c est du cours ou alors pense a la definition de la derivee en un point , en l' occurence x = 0 pour la fonction exp voir post de Nicolas 19/09/2006 à 10:42 )

lim quand x tend vers 0 de [ exp(x) - exp (0)] / (x - 0 )= par definition a la xaleur pour x=0 de LA DERIVEE de exp(x)
or cette derivee de exp(x) vaut exp(x)
comme exp(0) = 1
ona PAR DEFINITION
lim (exp(x)-1)/x = 1

Posté par miss jacky (invité)re : limite d'une fonction en 0 20-09-06 à 12:01

merci!

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : limite d'une fonction en 0 20-09-06 à 15:15

Pour ma part, je t'en prie.


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