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limite d'une integrale

Posté par
Yosh2 08-05-21 à 18:52

bonjour
soit f de classe C1 sur [a,b]
1- mq que lim f(x)sin(x) dx =0 lorsque ---> 0
2- le faire pour une fct en escalier
3- le faire pour une fct continue par morceaux

1- une intégration par partie permet de conclure facilement
2- j'ai ecrit  en utilisant la relation de chasles pour les intervalles de la subdivision adapte a f
f(x)sin(x) dx = fksin(x) dx = fksin(x) dx =1/fk(cos(ak) -cos(ak+1) ceci tend bien vers 0 (avec ak les bornes des intervalles de la subdivision )
3- je suis parti du theoreme d'approximation , soit fct en escalier et f continue par morceaux -<=f <= + puis on multiplie par sin(x) en distinguant selon le signe ensuite en intégrant on obtient la limite voulu .
pouvez vous me dire si 2 et 3 sont  correctes ?
merci a vous

Posté par
jandri Correcteurre : limite d'une integrale 08-05-21 à 21:22

Bonjour,

la limite quand \alpha tend vers 0 est immédiate pour f bornée en majorant |\sin(\alpha x)| par |\alpha x|.

Je pense que dans l'énoncé exact on demande la limite quand \alpha tend vers +\infty.

Pour le 3) on ne peut pas multiplier l'encadrement de f par \sin(\alpha x) car l'inégalité est renversée quand \sin(\alpha x)<0.
Ce qu'il faut faire c'est utiliser |f-\varphi|\leq \varepsilon pour majorer |\int_a^bf(x)\sin(\alpha x)dx-\int_a^b\varphi(x)\sin(\alpha x)dx|

Posté par
Yosh2re : limite d'une integrale 08-05-21 à 22:33

bonsoir
en effet tend vers +
3- j'ai fait
|\int_a^bf(x)\sin(\alpha x)dx-\int_a^b\varphi(x)\sin(\alpha x)dx| \\ =  |\int_a^b(f(x)-\varphi(x))\sin(\alpha x)dx| \\
par inegalite triangulaire <= \int_a^b|f(x)-\varphi(x)|\sin(\alpha x)|dx <= \epsilon \int_a^b|\sin(\alpha x)|dx puis il faut prendre \epsilon = \epsilon'/\int_a^b|\sin(\alpha x)|dx ce qui permet de conclure
merci a vous

Posté par
jandri Correcteurre : limite d'une integrale 08-05-21 à 22:41

Ce n'est pas bon car \varepsilon ne doit pas dépendre de \alpha.

Il faut majorer |\sin(\alpha x)| par 1 pour obtenir (b-a)\varepsilon

Posté par
Yosh2re : limite d'une integrale 08-05-21 à 22:54

bonsoir
en effet je n'avais que le epsilon dependait de alpha, cependant j'ai une autre question
lorsque on montre que pour tout on a \\ |\int_a^bf(x)\sin(\alpha x)dx-\int_a^b\varphi(x)\sin(\alpha x)dx| <= \epsilon ca signifie que lim \int_a^b\varphi(x)\sin(\alpha x)dx = \int_a^bf(x)\sin(\alpha x)dx n'est ce pas ? or il faudrait prendre la limite de la limite(j'avoue n'avoir jamais eu cette idee de prendre la limite d'une limite ) pour trouver zero

Posté par
jandri Correcteurre : limite d'une integrale 08-05-21 à 23:22

Non, c'est simplement la limite d'une somme.

La question 2) montre que la limite de \int_a^b\varphi(x)\sin(\alpha x)dx est nulle

Dans la question 3) montre que la limite de \int_a^bf(x)\sin(\alpha x)dx-\int_a^b\varphi(x)\sin(\alpha x)dx est nulle

On en déduit que la limite de \int_a^b f(x)\sin(\alpha x)dx est nulle

Posté par
Yosh2re : limite d'une integrale 08-05-21 à 23:32

bonsoir
d'accord , c'est plus clair pour moi désormais .
merci a vous


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