ce que tu as ecrit est impossible à dechifrer

Bonsoir,

j'ai commis une erreur :
  
l'exercice consiste a calculer la limite de la serie (2^n)/(a^{2^n} + 1)

  avec a   et n

Soit   F(a)  l'expression indiquée alors  2F(a²)= F(a)- 1/(a+1)

d'où une jolie équation fonctionnelle qui devrait permettre de trouver F et peut-être ses valeurs , bien parti ?

effectivement, c'est la méthode que j'ai utilisé aussi, il ne vous reste que le résultat

Bonjour,

inutile de se compliquer la vie avec une équation fonctionnelle. Un développement en série donne immédiatement le résultat : 1/(a-1)
Bien entendu, il ne faut pas oublier la condition : a>1 pour que la série proposée par Abenmoussa soit convergente.

Bonjour,

Je crains que le résultat n'est pas bon! ce n'est pas 1/(a-1).

Je maintiens F(a) = 1/(a-1)
Par contre, si tu tiens à passer par l'équation fonctionnelle :
2F(a²)= F(a)- 1/(a+1)
tu trouves la solution générale :
F(a) = (C/ln(a)) + (1/(a-1))
avec C une constante quelconque.
Il faut ensuite déterminer C pour que la solution satisfasse les données initiales, ce qui est compliqué. En effet, le passage par une équation fonctionnelle introduit des solutions supplémentaires non viables relativement à la série initiale, dont le terme général est (2^n)/((a^(2^n))+1) avec n=0...inf.
Finalement, la solution viable est obtenue avec C=0 donc F(a)=1/(a-1)
Bien qu'il n'y en ait nul besoin et que ce ne soit pas une preuve, on peut quand même regarder ce que cela donne par calcul numérique : on constate que la formule 1/(a-1) est vérifiée avec une très grande précision.

en ce qui concerne la limite moi j'ai trouvé 1/(a² -1) avec une méthode un peu différente mais avec le meme principe de 2F(a²)= F(a)- 1/(a+1)

Tu as du faire une erreur car
F(a) = 1/(a²-1)
n'est pas solution de l'équation fonctionnelle :
2F(a²)= F(a)- 1/(a+1)
En effet,
1/(a²-1)
est solution de :
2F(a²)= F(a)- 1/(a²+1)

ah je voi donc ce n'est pas la meme méthode que j'ai utilisé dans ce cas en effet :


moi j'ai juste remarqué que 2/(a²-1) = 1/(a-1) - 1/(a+1) donc  1/(a+1) = -2/(a²-1) + 1/(a-1)


donc j'ai multiplié l'egalité par 2^n  et j'ai fais la somme  j'ai trouvé au final 1/(a² - 1)  + Vn

j'ai utilisé une décomosition en élements simples Vn pour montrer que ca tends vers 0. car j'ai trouvé Vn sous la forme de P'/P ...

euh bon en analyse je suis nul : Jja peux-tu m'expliquer comment tu trouves les solutions de ton équation fonctionnelle  avec c/ln(a) etc... ?

Merci !

non c'est bon j'ai trouvé, merci.

salut Abenmoussa,

ce n'est pas une question de méthode. On peut utiliser n'importe quelle méthode : on trouve toujours le même résultat : F(a) = 1/(a-1)
La preuve c'est que je l'avait trouvé d'abord par une première méthode et que j'ai retrouvé le même résultat plus tard en vérifiant ta méthode d'équation fonctionnelle.
C'est bien évident puisque :
2/(a²-1) = 1/(a-1) - 1/(a+1)
En comparant avec :
2F(a²) = F(a) - 1/(a+1)
il saute aux yeux que :
F(a) = 1/(a-1)
F(a²) = 1/(a²-1)
Aucun doute n'est possible : il n'y a qu'un seul résultat correct qui est F(a) = 1/(a-1)
Il ne faut pas dire qu'à cause de la méthode différente, F(a) = 1/(a²-1) car c'est faux.
Mais bien sûr F(a²) = 1/(a²-1) est exact. Ne confondons pas F(a) et F(a²).
Maintenant, en ce qui me concerne, c'est terminé pour cette question.
Bien cordialement,
JJa

Bonjour JJa,

vs avez raison je m'excuse car moi j'effectuais la somme de 1 a L'infini ce qui me donnait un dénominateur de a² -1.

ou peut etre j'ai raté quelque chose. je vais refaire tout le calcul, bonne journée.

salut

désolé de vous importuner mais il y a qq chose que je ne comprends pas:
si F(a) est la série donnée dans l'énoncé alors en 0 et en 1 on trouve +inf
mais si on prend l'équation fonctionnelle, toujours pour ces mêmes valeurs on trouve un résultat négatif

et si F(a)=1/(a-1) alors F(1)= +inf mais à nouveau F(0)<0....
????

les calculs ne sont licites que pour  a>1 donc ta limite en 1 va quand même marcher mais en 0 tu es vraiment loin du disque de convergence .

Bonjour à tous!

Joli exercice!

Je n'ai peut-être pas compris les arguments des uns et des autres car je ne vois pas ni la méthode ni le résultat.

Je crois avoir compris que certains trouvent une solution de l'équation fonctionnelle et affirment que la somme de la série c'est précisément cette solution là. Et si l'équation fonctionnelle avait plusieurs solutions?

Bonjour à tous!

Ce bel exercice semble tombé dans l'oubli.

De mon côté, je pense avoir trouvé une solution. Elle n'utilise pas l'équation fonctionnelle.

Etes vous intéressés?

OUI

Bonjour milton!

La série converge pour |a|>1.

Je  me ramène au voisinage de 0 en posant  b=1/a.

Le terme général devient 2^n.b^{2^n}/1+b^{2^n}.

Je l'écris lui-même comme somme d'une série en utilisant le développement en série entière de u/1+u.

Pour bien voir ce qui se passe, j'écris un terme par ligne:

1ere ligne: b-b^2+b^3-b^4+b^5 etc
2eme ligne: 2(b^2-b^4+b^6-b^8) etc
3eme ligne: 4(b^4-b^8+b^12) etc

Je somme en regroupant les termes en b, les termes en b^2 etc
(en fait, j'intervertis deux sommations, ce qui est licile car les séries sont absolument convergentes).

Une fois le regroupement fait, la somme de la série s'écrit b+b^2+b^3 etc.
On reconnaît le développement en série entière de b/1-b.

En revenant à b=1/a, on trouve le résultat déjà annoncé par d'autres: 1/a-1.

Sauf erreur bien sûr.