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Limite d'une somme

Posté par Profil Fifaliana36 05-07-19 à 20:24

Bonjour,
Quelqu'un pourrait il m'aider à calculer

limx+ [1-e^-^x(1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+...+\frac{x^n}{n!})]

Et que e= limn+[\sum_{k=0}^{n}{\frac{1}{k!}}]

Merci d'avance.

Posté par
flight
re : Limite d'une somme 05-07-19 à 22:12

salut

la limite de la somme est deja donnée c'est :e^1   il reste  à calculer la limite de e^-x en + l'infini

Posté par
lake
re : Limite d'une somme 05-07-19 à 22:20

Bonjour,

Citation :
limx+ [1-e^-^x(1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+...+\frac{x^n}{n!})]


Elle vaut 0 mais il est certain que tu donnes un énoncé partiel et ledit énoncé permet certainement d'arriver à ce résultat.

Bref, poste ton énoncé complet et exact sans y changer ne serait-ce qu'une virgule et tes résultats pour les questions précédentes.

Posté par
larrech
re : Limite d'une somme 05-07-19 à 22:43

Bonsoir lake

C'est x qui tend vers l'infini au moins tel que c'est écrit, n est fixé.

Posté par
lake
re : Limite d'une somme 05-07-19 à 22:48

Bonsoir larrech

Citation :
C'est x qui tend vers l'infini


Effectivement, je n'avais pas remarqué

Mais je reste convaincu qu'il s'agit de n. Fifaliana36 va certainement lever le doute ...

Posté par
larrech
re : Limite d'une somme 05-07-19 à 22:52

Oui, tout cela n'est pas très clair...

Posté par Profil Fifaliana36re : Limite d'une somme 06-07-19 à 07:40

Bon, alors voici l'énoncé complet
Soit
In(x) = \frac{1}{n!}\int_{0}^{x}{f_n(t)}dt
x>0
1) calcul de I0(x), I1(x) et I2(x) en fonction de x.
c'est fait
2) a) pour tout n , exprimer In+1(x) en fonction de In(x)
j'ai trouvé In+1= In-\frac{x^n^+^1}{(n+1)!}e^-^x

b) en déduire In(x)  en fonction de x et n.In= 1-(1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+...+ \frac{x^n}{n!})e-x
c) pour n fixé, calculer la limite de In(x) quand x+ voilà ma question. Certains disent qu'il y a une formule à apprendre par cœur. Mais j'aime pas trop ça car mieux vaut savoir comment le démontrer
3) a)on prend x=1, démontrer que
0In(1)\frac{1}{(n+1)!} et en déduire la limite de In(1)
C'est 0
b) déduire de 2) l'expression de In(1) en fonction de n on remplace juste x par 1
d) utiliser les résultats précédents pour montrer
e=limx+[\sum_{k=0}^{n}{\frac{1}{k!}}]
ma dernière question.
Voilà.

Posté par
larrech
re : Limite d'une somme 06-07-19 à 08:11

Encore faudrait-il avoir la définition de f_n

Posté par Profil Fifaliana36re : Limite d'une somme 06-07-19 à 08:38

Oups désolé, avec fn(x)=xne-x n * et f0(x)= e-x  dit le sujet.

Posté par
larrech
re : Limite d'une somme 06-07-19 à 09:07

Pour la question 2b/ (je n'ai pas regardé les précédentes), quand vous dites " mieux vaut savoir comment le démontrer " c'est vrai, mais d'un autre côté, on ne peut pas à chaque fois tout reprendre depuis le début. Certains résultats du cours sont à connaître. Ici, en particulier, ce que l'on nomme théorème des croissances comparées exponentielle/polynômes.

La somme en question s'écrit I_n=1-\sum_{k=0}^{n}{\dfrac{x^k e^{-x}}{k!}} et on applique le théorème.

Posté par
larrech
re : Limite d'une somme 06-07-19 à 09:51

Je n'ai guère le temps, là, mais votre expression pour I_n me paraît fausse.

I_0= e^{-x}
 \\ I_1= e^{-x}-x e^{-x}
 \\ I_2=I_1-\dfrac{x^2 e^{-x}}{2!}=e^{-x}-x e^{-x}-\dfrac{x^2 e^{-x}}{2!}=e^{-x}(1-x -\dfrac{x^2 }{2!})

etc.

Posté par
larrech
re : Limite d'une somme 06-07-19 à 15:35

Pas bien réveillé ce matin, oubliez mon post de 09h51.

I_0=1-e^{-x}, d'où effectivement I_n=1-e^{-x}(1+\dfrac{x}{1!}+\dfrac{x^2}{2!}+...+\dfrac{x^n}{n!})

Excuses.

Posté par
lake
re : Limite d'une somme 06-07-19 à 18:18

Citation :
Mais je reste convaincu que...


Et j'avais tort



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