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Limite d'une suite

Posté par
Amine36 20-10-18 à 16:13

Bonjour tout le monde.

pourriez vous m'aider a caluler cette limite:

Un= 1/na[((2n)!/n!)]1/n
avec a>1

Posté par
Razesre : Limite d'une suite 20-10-18 à 16:25

Bonjour,
As tu vu la formule de Stirling? Sinon passer par \ln U_n Puis des moyennes.  C'est juste une idée.

Posté par
Amine36re : Limite d'une suite 20-10-18 à 16:41

Oui stirling je l'ai vue..Mais je ne sais pas comment l'exploiter

Posté par
luzakre : Limite d'une suite 20-10-18 à 17:20

Bonjour !
u_n=\Bigl(\dfrac{(2n)!}{n!n^{an}}\Bigr)^{1/n}.

Soit x_n=\dfrac{(2n)!}{n!n^{an}}>0
Il faut savoir que si n\mapsto\dfrac{x_{n+1}}{x_n} a une limite \ell\in\R\cup\{+\infty\} alors n\mapsto\sqrt[n]{x_n} a aussi la limite \ell (se démontre en utilisant le critère de d'Alembert des séries ou le théorème de Césaro)

Posté par
Amine36re : Limite d'une suite 20-10-18 à 20:33

si l<1 donc xn tend vers 0

Posté par
luzakre : Limite d'une suite 20-10-18 à 22:58

Je n'ai pas dit çà : du moment que la limite (qu'importe sa valeur) existe pour le rapport tu as la même limite pour la racine.

Posté par
Amine36re : Limite d'une suite 21-10-18 à 00:30

Parfait
Je vous remercie enormement et je vais chercher la demonstration sans doute...

Posté par
luzakre : Limite d'une suite 21-10-18 à 09:32

Méthode banale que tu trouveras partout : théorème de Césaro, en prenant le logarithme.

Méthode trouvée dans un problème de feu Croisot :
Supposons \ell\in\R_+^*. Soit 0<a<\ell< b.
Par condition suffisante de d'Alembert les séries \sum\dfrac{a^n}{x_n},\;\sum\dfrac{x_n}{b^n} sont convergentes donc, pour n assez grand a^n\leqslant x_n\leqslant b^n.

Pour \ell\in\{0,+\infty\} on ne prend que b>0 ou a>0.

Posté par
Amine36re : Limite d'une suite 21-10-18 à 15:49

Jen'ai pas compris puisque je n'ai pas encore étudié les séries...mais merci en tout cas


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