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Limite d'une suite de V.A

Posté par
raisinsec 08-12-20 à 13:58

Salut,

J'ai une question sur la limite de variables aléatoires sur \Omega à valeurs dans [0,1] telles que X_{n}(w)\leq X_{n+1}(w).
On me demande de montrer que X:=\lim_{n\rightarrow \infty }X_{n} est une variable aléatoire. J'imagine qu'on prend la sigma-borel algèbre sur [0,1] et on doit montrer que X est mesurable mais j'ai un peu de peine, alors qu'il s'agit surement d'un exercice cadeau.

Quelqu'un peut m'aider ?

Posté par
Zormuchere : Limite d'une suite de V.A 08-12-20 à 14:20

Bonsoir

Si je ne me trompe pas,

la suite X_n(\omega)  converge donc on peut dire que  X(\omega)=\limsup_n X_n(\omega)

Posté par
Ulmierere : Limite d'une suite de V.A 08-12-20 à 14:27

Rien ne dit que la suite (X_n) converge presque sûrement dans ton énoncé.
Ce qui est vrai par contre, c'est que \limsup X_n et \liminf X_n sont toujours mesurables (et en fait, ici elles sont également finies puisque les X_n sont toutes majorées par 1 et minorées par 0).

Pour rappel, si A_n sont des ensembles mesurables, alors \liminf A_n = \bigcup_n \bigcap_{k\geqslant n} A_k et \limsup A_n = \bigcap_n \bigcup_{k\geqslant n} A_k.
Ou si préfères, \omega\in\limsup A_n signifie que \omega appartient à une infinité de A_n et \omega\in\liminf A_n signifie que \omega appartient à tous les A_n à partir d'un certain rang.
Ce sont des ensembles mesurables parce que ............


Une fois ceci montré, prends un borélien B de [0,1] et construis uen suite A_n intelligente d'ensembles mesurables et regarde ce que sont sa limsup et sa liminf, toutes deux mesurables. Déduis-en quelque chose à propos de la limsup X(n) et liminf X(n).


Dans le cas où (X_n) converge, sa limsup et sa liminf coincident bien-sûr entre elles et avec la limite presque sûre de la suite

Posté par
Ulmierere : Limite d'une suite de V.A 08-12-20 à 14:41

J'avais mal lu la question, ici (X_n) est croissante, donc pour presque tout omega, (X_n(omega)) est croissante et majorée donc convergente et donc il y a une limite presque sûre. Ceci dit, ça ne change rien à la démonstration


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