Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Maths sup AnalyseTopics traitant de analyse [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau Maths sup
Partager :

Limite de a^1/n

Posté par
Winver 11-01-18 à 22:56

Bonsoir,

J'aimerais prouver que la suite a_n converge vers 0 pour a compris entre 0 et 1.

Je dois le faire à l'aide de la définition mais je ne vois pas comment exploiter la condition
|a^1/n| < epsilon.

Auriez-vous une suggestion?

Posté par
Winverre : Limite de a^1/n 11-01-18 à 22:57

Edit: Pardon mais  la suite est : a_n = a^1/n    tel que 0<a<1

Merci

Posté par
verdurinre : Limite de a^1/n 11-01-18 à 23:04

Bonsoir,
à vu de nez ta suite ne converge pas vers 0.

Posté par
Winverre : Limite de a^1/n 11-01-18 à 23:15

Elle tend effectivement vers 1 au temps pour moi.

Posté par
Winverre : Limite de a^1/n 11-01-18 à 23:18

Il n'empêche que je n'y arrive toujours pas.
Ai-je manqué quelque chose?

Posté par
verdurinre : Limite de a^1/n 11-01-18 à 23:31

Une piste :
la suite na^(1/n) es croissante et majorée.

Posté par
Winverre : Limite de a^1/n 11-01-18 à 23:48

J'aimerais le faire uniquement par la définition. Est-ce possible?

Merci

Posté par
mousse42re : Limite de a^1/n 11-01-18 à 23:51

Bonsoir
une autre piste : utiliser le logarithme et l'exponentiel

Posté par
Winverre : Limite de a^1/n 12-01-18 à 00:05

a étant compris entre 0 et 1, n'y a t'il pas un problème justement?

Posté par
verdurinre : Limite de a^1/n 12-01-18 à 00:05

Il est évidement possible de démontrer que la limite est 1 à partir de la définition.
Ce n'est sans doute pas simple.

Posté par
mousse42re : Limite de a^1/n 12-01-18 à 00:16

non, je ne crois pas, a est un réel dans ]0,1[.

Posté par
mousse42re : Limite de a^1/n 12-01-18 à 00:33

Voici un début

Soit \varepsilon>0,
Puisque (u_n) est croissante et que |a^{\frac{1}{n}}-1|\le\varepsilon donc on a 1-\varepsilon\le u_n\iff \ln(1-\varepsilon)\le \dfrac{1}{n}\ln a

Posté par
mousse42re : Limite de a^1/n 12-01-18 à 00:37

non, ça doit être faux, désolé

Posté par
mousse42re : Limite de a^1/n 12-01-18 à 00:41

donc on a 1-\varepsilon\le u_n\iff \ln(1-\varepsilon)\ge \dfrac{1}{n}\ln a

A cause du ln, on inverse l'inégalité

Posté par
mousse42re : Limite de a^1/n 12-01-18 à 00:47

je raconte des bêtises, ne tiens pas compte de mes messages, je vais me coucher

Posté par
mousse42re : Limite de a^1/n 12-01-18 à 01:08

donc on a 1-\varepsilon\le u_n\iff \ln(1-\varepsilon)\le \dfrac{1}{n}\ln a

Jusque là c'est juste.

puisque \ln a<0, on multiplie chaque membre de l'inégalité par \dfrac{1}{\ln a}<0

Et c'est donc à ce niveau que l'inégalité change et on a

\dfrac{\ln(1-\varepsilon)}{\ln a}\ge \dfrac{1}{n}\iff n \ge \dfrac{\ln a}{\ln(1-\varepsilon)}

Posté par
luzakre : Limite de a^1/n 12-01-18 à 08:40

Bonjour !
Il me semble que l'inégalité de Bernoulli devrait suffire.
Je donne les grandes lignes.
Pour avoir a^{1/n}>1-\varepsilon il suffit que a^{-1/n}<1+\varepsilon car \dfrac1{1+\varepsilon}>1-\varepsilon.
Il suffit donc que \dfrac1a<(1+\varepsilon)^n et on connait un minorant du dernier terme qui est 1+n\varepsilon


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1674 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !