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Limite de exp(t)/t et exp(t)/t^2

Posté par
alexyuc 08-05-14 à 14:35

Bonjour,

Pourriez-vous me donner une explication concernant le fait que la limite quand x tend vers 0 de exp(t)/t est indéfinie, alors que la limite quand x tend vers 0 de exp(t)/t^2 tend vers + l'infini ?

J'ai essayé de le justifier par des DL au premier ou au second ordre ou encore avec l'équivalent usuel de exp(t)-1 en 0 mais ça ne donne rien de mon côté.

Merci beaucoup.

Cordialement.

Posté par
Camélia Correcteurre : Limite de exp(t)/t et exp(t)/t^2 08-05-14 à 14:38

Bonjour

Ce sont des résultats démontrés en terminale sous le nom de "croissances comparées"

Posté par
idmre : Limite de exp(t)/t et exp(t)/t^2 08-05-14 à 14:38

Salut,

Il suffit tout simplement de calculer indépendamment les limites en 0^+ et 0^-

Posté par
Camélia Correcteurre : Limite de exp(t)/t et exp(t)/t^2 08-05-14 à 14:40

Désolée, je n'ai pas vu qu'on parlait de la limite en 0.

Posté par
alexyucre : Limite de exp(t)/t et exp(t)/t^2 08-05-14 à 15:58

Oui pour la croissance comparée, il n'y a pas de souci avec la prédominance de l'exponentielle en +infini.
Mais en 0, peut-on dire que exp(t) est équivalent à 1, donc exp(t)/t équivalent à 1/t en 0, ce qui fait que la limite quand t tend vers 0 c'est l'infini.
On reviendrai au même résultat qu'avec exp(t)/t^2.

Posté par
Camélia Correcteurre : Limite de exp(t)/t et exp(t)/t^2 08-05-14 à 16:00

Sauf que l'infini ne veut rien dire. Est-ce +\infty ou -\infty

Posté par
alexyucre : Limite de exp(t)/t et exp(t)/t^2 08-05-14 à 16:14

Je pensais à +\infty

Posté par
Camélia Correcteurre : Limite de exp(t)/t et exp(t)/t^2 08-05-14 à 16:19

Dans quel cas?

Posté par
alexyucre : Limite de exp(t)/t et exp(t)/t^2 08-05-14 à 16:33

Alors, je cherchais la limite de \frac{e^t}{t} en 0

Si on dit que e^t \sim 1 en 0, alors \frac{e^t}{t} \sim \frac{1}{t} en 0

Donc lim en 0 de \frac{e^t}{t} = +\infty  pour t>0

Posté par
Camélia Correcteurre : Limite de exp(t)/t et exp(t)/t^2 08-05-14 à 16:39

Et pour t < 0?

Posté par
delta-Bre : Limite de exp(t)/t et exp(t)/t^2 08-05-14 à 17:05

Bonjour.

A strictement parler tu cherches des limites quand \red{x \to 0} et non quand \red{t \to 0}}. On a alors \lim_{x \to 0} \frac{e^t}{t}=\frac{e^t}{t} et \lim_{x \to 0} \frac{e^t}{t^2}=\frac{e^t}{t^2}. Les différents intervenants ont rectifié le tir et t'ont donné les réponses pour \red{t \to 0}}

Posté par
alexyucre : Limite de exp(t)/t et exp(t)/t^2 08-05-14 à 18:12

Bonjour delta-B, non non je cherche bien les limites quand t tend vers 0. J'ai fait une étourderie dans le premier message, je te remercie pour la remarque.

Camélia : pour t<0 je dirai que la limite devient -\infty
Là où je me posais des questions c'est surtout sur la propreté de la démonstration pour t>0 par exemple. Cette limite est-elle juste ?

Posté par
Camélia Correcteurre : Limite de exp(t)/t et exp(t)/t^2 08-05-14 à 18:17

Oui, bien sur qu'elle est juste. Comme tu ne trouves pas la même chose à droite et à gauche il n'y a pas de limite.

Posté par
alexyucre : Limite de exp(t)/t et exp(t)/t^2 08-05-14 à 19:21

ah c'est donc pour ça que la limite est indéfinie, ce qui n'est pas le cas pour t^2 !
Je comprends merci beaucoup !


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