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Limite de fonction fractionnée

Posté par
2RaiKo5 16-02-21 à 15:37

Bonjour à tous !

J'ai un exercice à faire durant les vacances, portant sur les limites de fonctions, et j'avoue que je n'ai pas vraiment compris comment le faire
La question (courte mais pourtant très difficile):

\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{2-3x}{6e^x^-^1} = \frac{1}{2}
L'affirmation est-elle vraie ou fausse ?

Pour moi la réponse est plutôt évidente (c'est faux), mais je ne sais pas comment le montrer.

J'avais trouvé que on pouvait exprimer la fonction comme : \frac{\frac{2}{3}-x}{e^x^-^1} \times \frac{1}{2} , mais on reste sur de l'infini/infini/entier, ce qui contient une FI (forme indéterminée). Comment je pourrais faire ? Send help !!

Posté par
matheuxmatoure : Limite de fonction fractionnée 16-02-21 à 15:40

bonjour

tu as ici un quotient avec un polynôme en haut et une exponentielle en bas

de quoi disposes-tu dans ton cours concernant les croissances comparées avec l'exponentielle ?

Posté par
2RaiKo5re : Limite de fonction fractionnée 16-02-21 à 15:45

Je connais la limite en +\infty de \frac{e^x}{x}, mais pas l'inverse... J'étais censé l'étudier ?

Posté par
matheuxmatoure : Limite de fonction fractionnée 16-02-21 à 15:46

c'est quoi la limite de ex/x à l'infini ?

Posté par
2RaiKo5re : Limite de fonction fractionnée 16-02-21 à 15:48

C'est +\infty normalement...

Posté par
matheuxmatoure : Limite de fonction fractionnée 16-02-21 à 15:48

oui !

donc son inverse ?

Posté par
2RaiKo5re : Limite de fonction fractionnée 16-02-21 à 15:49

Du coup je dois en déduire que \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{x}{e^x} = 0 ?

Posté par
matheuxmatoure : Limite de fonction fractionnée 16-02-21 à 15:49

oui

donc dans ta fraction, met x en facteur au numérateur et ex au dénominateur et tu aura ta réponse

Posté par
2RaiKo5re : Limite de fonction fractionnée 16-02-21 à 15:50

Déjà on a bien avancés ! Il me suffira ensuite d'en déduire la limite de l'autre fonction, ça c'est bon
Par contre, comment je peux le démontrer ? Cette limite est correcte, mais je l'explique par quel moyen ?

Posté par
matheuxmatoure : Limite de fonction fractionnée 16-02-21 à 15:50

* tu auras

Posté par
matheuxmatoure : Limite de fonction fractionnée 16-02-21 à 15:50

je ne sais pas si la limite est correcte ! calcule-la

Posté par
matheuxmatoure : Limite de fonction fractionnée 16-02-21 à 15:54

\dfrac{2-3x}{6e^x^-^1} = \dfrac{x}{e^x}\times \dfrac{\cdots}{\cdots}

Posté par
2RaiKo5re : Limite de fonction fractionnée 16-02-21 à 16:04

Du coup ! Pour la calculer, je montre que exp(x)-x>0  sur R, donc que exp(x) croît plus rapidement que x, puis ensuite j'en déduis la limite ?
Pour la fraction juste dessous, j'ai (je crois), que
\dfrac{2-3x}{6e^x^-^1} = \dfrac{x}{e^x}\times \dfrac{2x-3x²+6e^x}{6e^{x-1}x}

Posté par
matheuxmatoure : Limite de fonction fractionnée 16-02-21 à 16:48

qu'est-ce que c'est que cette "factorisation" ?????

(2-3x) = x \times (\cdots)

6e^{x-1} = e^x \times (\cdots)

Posté par
2RaiKo5re : Limite de fonction fractionnée 16-02-21 à 18:38

(2-3x) = x \times (\frac{2}{x} - 3) \\ \\ 6e^{x-1} = e^x \times (6e^{-1})

Je sais pas trop comment j'ai fait pour la dernière réponse, mais je l'ai fait !
Du coup il ne me reste plus qu'à déduire la limite de  \frac {\frac{2}{x} - 3}{6e^{-1}}, puis à la rajouter à celle de \frac{x}{e^x}
Merci beaucoup pour ton aide !

Posté par
matheuxmatoure : Limite de fonction fractionnée 16-02-21 à 18:39

la rajouter ?????????

donc

matheuxmatou @ 16-02-2021 à 15:54

\dfrac{2-3x}{6e^x^-^1} = \dfrac{x}{e^x}\times \dfrac{\cdots}{\cdots}

Posté par
2RaiKo5re : Limite de fonction fractionnée 16-02-21 à 18:40

C'est vrai que le mot rajouter n'est pas approprié... plutôt faire le produit des deux !
Vu qu'on multiplie alors un entier à 0, on obtient que la limite totale est 0, l'affirmation est donc fausse !

Posté par
matheuxmatoure : Limite de fonction fractionnée 16-02-21 à 18:41

c'est une multiplication

donc au final, que donne ton calcul de limite ?

Posté par
matheuxmatoure : Limite de fonction fractionnée 16-02-21 à 18:42

c'est pas un entier... mais oui, la limite du bazar complet est 0

Posté par
2RaiKo5re : Limite de fonction fractionnée 16-02-21 à 18:43

\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{2-3x}{6e^x^-^1} = \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac {\frac{2}{x} - 3}{6e^{-1}} \times \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{x}{e^x}
Un réel, pas un entier, désolé...

Posté par
matheuxmatoure : Limite de fonction fractionnée 16-02-21 à 18:46

parfait

Posté par
2RaiKo5re : Limite de fonction fractionnée 16-02-21 à 18:46

\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{2}{x} -3 = -3
\lim_{x\rightarrow +\infty} 6e^{-1} = 6e^{-1}

\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{e^x}{x}= 0, Il me le reste à démontrer, mais ça ne devrait pas être compliqué

Posté par
matheuxmatoure : Limite de fonction fractionnée 16-02-21 à 18:47

voilà


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