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Limite de fonction sinus.

Posté par
matheux14 24-08-20 à 12:37

Bonjour ,

Merci d'avance.

Soit la fonction f définie sur \R par f(x)=\dfrac{4+x.sin(x)}{1+x²}.

Calculer les limites de f en -∞ et en +∞.

Réponse

\dfrac{4}{1+x²} \leq \dfrac{4+x.sin(x)}{1+x²} \leq \dfrac{9}{1+x²}.

*\lim_{x\to +\infty}\dfrac{4}{1+x²}=0 et \lim_{x\to -\infty} \dfrac{4}{1+x²} =0.

*\lim_{x\to +\infty}\dfrac{9}{1+x²}=0 et \lim_{x\to -\infty} \dfrac{9}{1+x²} =0.

Donc \lim_{x\to +\infty}f(x)=0 (théorème des gendarmes).

Posté par
matheux14re : Limite de fonction sinus. 24-08-20 à 12:39

Donc \lim_{x\to +\infty}f(x)=0 et \lim_{x\to -\infty}f(x)=0 (théorème des gendarmes).

Posté par
malou Webmasterre : Limite de fonction sinus. 24-08-20 à 12:52

Bonjour
je ne comprends pas l'encadrement que tu sors à la 1re ligne
de toutes façons, tu ne peux pas affirmer ça comme ça, tu dois le démontrer
donc vraie démonstration, et encadrement juste attendus
quelqu'un prendra le relais, je ne fais que passer

Posté par
matheux14re : Limite de fonction sinus. 24-08-20 à 13:23

On sait que -1 \le sin(x) \le 1

*Si  x<0 , -x \ge x.sin(x) \ge x

Donc 4-x \ge 4+x.sin(x) \ge 4+x.

D'où \dfrac{4-x}{1+x²} \ge \dfrac{4+ x.sin(x)}{1+x²} \ge \dfrac{4+x}{1+x²} car \forall x\in \R , 1+x² >0.

*En déduit que si x>0 ,  \dfrac{4-x}{1+x²} \le \dfrac{4+ x.sin(x)}{1+x²} \le \dfrac{4+x}{1+x²}.

Dans les deux cas ,  f(x)=\dfrac{4+ x.sin(x)}{1+x²} est compris entre \dfrac{4-x}{1+x²} et  \dfrac{4+x}{1+x²}.

Or \lim_{x\to +\infty} \dfrac{4-x}{1+x²}=\lim_{x\to+\infty} \dfrac{-x}{x²}=\lim_{x\to +\infty}\dfrac{-1}{x}=0

Il vient \lim_{x\to -\infty}\dfrac{4-x}{1+x²}=0

\lim_{x\to -\infty}\dfrac{4+x}{1+x²}=0

Et \lim_{x\to+\infty}\dfrac{4+x}{1+x²}=0

Donc \lim_{x\to -\infty}f(x)=0  et \lim_{x\to +\infty}f(x)=0

Posté par
malou Webmasterre : Limite de fonction sinus. 24-08-20 à 13:36

ha là, ça va mieux
je pense que c'est OK...
donc pas d'esbroufe pour les encadrements ! on démontre !
C'est bien.

Posté par
matheux14re : Limite de fonction sinus. 24-08-20 à 13:38

Merci

Posté par
malou Webmasterre : Limite de fonction sinus. 24-08-20 à 18:21

je t'en prie

Posté par
carpediemre : Limite de fonction sinus. 25-08-20 à 18:47

salut

la fonction f est paire donc le calcul d'une seule limite suffit pour avoir les deux imites ...

Posté par
matheux14re : Limite de fonction sinus. 25-08-20 à 18:53

Oui , mais ce cours là je le verrai après les dérivés que je débuterai dès demain..

Bonne soirée

Posté par
carpediemre : Limite de fonction sinus. 25-08-20 à 19:06

merci et à toi aussi ...

PS : pour une question de méthode et de clarté je te conseille de faire tout le travail pour une limite puis ensuite de faire tout le travail pour l'autre limite ... éventuellement en reprenant certains résultats précédents ...

Posté par
matheux14re : Limite de fonction sinus. 25-08-20 à 19:09

Ah OK


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