y=(2/sin²x)-(1/(1-cos x))
y = (2-2cos(x) - sin²(x))/(sin²x(1-cos(x))
y = (2-2cos(x) - 1 + cos²(x))/(sin²x(1-cos(x))
y = (1-2cos(x) + cos²(x))/(sin²x(1-cos(x))
y = (1-cos(x))²/(sin²x(1-cos(x))
y = (1-cos(x))/sin²x

lim(x->0) [(1-cos(x))/sin²x]
est de la forme 0/0 -> Application de la règle de Lhospital.

lim(x->0) [(1-cos(x))/sin²x] = lim(x->0) [sin(x)/(2sin(x).cos(x))] = lim(x->0)
[1/(2.cos(x)] = 1/2
----
Sauf distraction.  

Bonjour,

y=(2/sin²x)-(1/(1-cos x))
y=2/(1-cos²x)-1/(1-cos x)
y=2/(1-cos x)(1+cos x)-1/(1-cos x)
y=(2-(1+cos x))/(1-cos x)(1+cos x)
y=1/(1+cos x) si cos x différent de 0.

Donc la limite de t quand x tend vers 0 est 1/2.

@+

La méthode de J-P n'est pas la même que la mienne mais le résultat
est le même...

@+

Tous les chemins mènent à Rome Victor.

J'avoue avoir un faible pour la règle du Marquis de Lhospital, pas assez
enseignée, je pense.
(Bien qu'ici, on pouvait facilement s'en passer comme tu l'as
montré.)  

Merci à vous.
Je viens d'en calculer une autre du même genre, très rapide avec
la règle de Lhopital, un peu moins par simplification.
J'ai découvert cette règle il y a quelques heures seulement sur un chouette
site, mais j'avais démarré comme Victor .... en loupant bêtement
la quantité conjuguée.

La règle de Lhospital est effectivement très pratique et est souvent
plus efficace que les simplifications. Il faut donc penser à l'utiliser...


@+

Salut Satchmo,

La règle de Lhospital est souvent efficace mais il faut prendre garde
de ne l'appliquer que lorsque c'est permis.
Soit uniquement dans les cas d'indéterminations de type: 0/0 ou oo/oo
(quels que soient les signes dont sont affublés les oo)

Comme le disait un de mes anciens profs: "Cela va sans dire" ... Mias
cela va encore mieux en le disant.

Absorbé par la rédaction de mes exercices ce week-end, je n'ai
pas pris le temps de venir sur le forum.
C'est pourquoi ce n'est que tardivement que je vous remercie (encore
une fois) pour ces précieux conseils.

Satchmo

Sauf erreur de ma part, la règle de l'Hospital ne marche t-elle
pas que dans les cas ou l'on recherche des limites en 0 ?

Cela dit il est possible de contourner le problème par changement de variable.

Non Mayhem, la règle de Lhospital n'est pas limitée aux limites
en 0.

exemple:

lim(x->3) [sin(x-3) / (x²-2x-3)]
est de la forme 0/0 -> Lhospital:

= lim(x->3) [cos(x-3)/(2x-2)] = 1/4
-----

ca consiste en koi exactement la regle de lhopital?
tu dérive chaque terme qd ta 1 quotient et ca change pa la limite???
jvoyè pa pkoi JP lutilisais a la fin de son calcul  o lieu de faire par
simple equivalents.
dsl pr cette question mè je connais pas cette regle.

Règle de Lhospital :
f et g sont des fonctions numériques continues sur un voisinage V d'un
réel xo, dérivables sur V (sauf peut-être en xo) et vérifiant f(xo)
= g(xo) = 0. On suppose en outre que g' est non nulle sur V
(sauf peut-être en xo). Dans ces conditions, si f '/g'
admet une limite en xo (finie ou non), alors f/g admet la même limite
en xo.

@+

La règle que Victor a écrite est celle trouvée dans beaucoup de
manuels (incomplets).
Cette règle peut être étendue à d'autres cas que f(xo) = g(xo) = 0

Cela marche aussi si lim(x -> xo) f(x) = +/- oo ET que lim(x->xo) g(x)
= +/- oo

Par exemple:
lim (x->oo) [e^x /x²] est de la forme oo/oo -> Application de la règle
de Lhospital.
lim (x->oo) [e^x /x²] = lim (x->oo) [e^x /(2x)] est de la forme oo/oo
-> Application de la règle de Lhospital.
= lim(x->oo) [e^x/2] = oo

On peut appliquer Lhospital directement pour les indéterminations des
types 0/0 et oo/oo (quels que soient les signes dont sont affublés
les oo).
-----
Ceci est important, car parfois une forme peut être résolue par Lhospital
et pas l'autre.

Je reprends l'exemple:

lim(x->oo) [(1/x²)/e^-x]
On a affaire à une indétermination du type 0/0 mais la résoudre telle
quelle par Lhospital ne mène nulle part puisque les dérivées sucessives
des numérateurs et dénominateurs amènent à chaque fois une indétermination
nouvelle de type 0/0

Mais si on se rend compte que [(1/x²)/e^-x] = e^x/x²
on retombe sur lim (x->oo) [e^x /x²] du type oo/oo mais qui (voir avant)
peut être résolue par Lhospital.
-----
Vive le Marquis. (même si beaucoup de Mathématiciens ne l'apprécient
pas).