Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques LycéeOn parle exclusivement de maths, niveau lycée. TerminaleForum de terminale Limites de fonctionsTopics traitant de Limites de fonctions [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau terminale
Partager :

limite de la fonction arctan

Posté par
med1957 25-11-23 à 09:11

bonjour
je bloque dans la 2eme question donner moi un fil svp
soit a ;b des reels tel que b>a\geq 0
1)montrez que
(b-a)/(1+b²)<\arctan b-\arctan a<(b-a)/(1+a²)
2)deduire \lim_{x\to 0} (\arctan x-x)/x²

j ai fait la premiere question
appliquer th desAf  a f(x)=\arctan xsur [a,b]
pour la deuxieme question
ce que j ai fait
x-\arctan x=\arctan(\tan x)-\arctan x      \tanx>xd apres 1)

on a
(\tan x-x)/(1+\tan ^2 x)<x-\arctan x   <(\tan x-x)/(1+x²)  
soit
\frac 1{x²}\times(\tan x-x)/(1+\tan ^2 x)<\frac 1{x²}\times(x-\arctan x)   <\frac 1{x²}\times(\tan x-x)/(1+x²)   incapable de determiner les deux limites
\lim_ {x\to 0}\frac 1{x²}\times(\tan x-x)/(1+x²) et
\lim_ {x\to 0}\frac 1{x²}\times(\tan x-x)/(1+\tan^2 x)

et merci

Posté par
alwafire : limite de la fonction arctan 25-11-23 à 23:53

Bonsoir,
indication; il suffit de calculer la limite de (tan x  - x)/x^2 à droite en 0.
utiliser le fait que pour tout  x de ]0, /2 [ ;
sin x < x < tan x     pour encadrer (tan x - x)/x^2.
la limite de (Arctan x - x)/x^2 à gauche en 0 se déduit de sa limite à droite en 0 par parité

Posté par
med1957re : limite de la fonction arctan 26-11-23 à 06:54

bonjour
merci alwafi

sin x < x  \implies tan x <x/cosx
\ \implies (tan x - x)/x^2 <\dfrac x{cosx} \times\dfrac{(1-cosx)}{x²}
x<tan x \implies (tan x - x)/x^2>0
d ou 0<(tan x - x)/x^2<\dfrac x{cosx} \times\dfrac{(1-cosx)}{x²}\to 0
et par suite \lim _{x\to 0}(tan x  - x)/x^2=0

Posté par
med1957re : limite de la fonction arctan 26-11-23 à 07:11



posons arctan x=y  lorsque x tend vers 0  y tend vers 0 et x= tan y
\lim (\arctan x -x)/x²=\lim (y-tan y)/tan²y=\lim( y-tan y) /y² \times y²/tan²y \to 0

Posté par
alwafire : limite de la fonction arctan 26-11-23 à 14:30

de rien

Posté par
carpediemre : limite de la fonction arctan 26-11-23 à 17:31

salut
*
ce qui me gène c'est le "en déduire"

la réponse de alwafi me semble "artificielle" dans le sens où elle n'utilise pas la question 1/

Posté par
lakere : limite de la fonction arctan 26-11-23 à 18:10

Bonjour,
Une hypothèse toute gratuite :
Citation :
2)deduire \lim_{x\to 0} (\arctan x-x)/x²

Peut-être s'agit-il de \lim_{x\to 0} (\arctan x-x)/x^{{\red 3}}
?

Posté par
med1957re : limite de la fonction arctan 26-11-23 à 22:07

bonsoir
merci pour votre aide
\frac 1{x²}\times(\tan x-x)/(1+\tan ^2 x)<\frac 1{x²}\times(x-\arctan x)   <\frac 1{x²}\times(\tan x-x)/(1+x²)  <\frac 1{x²}\times(\tan x-x)
donc on peut considerer l idée d ' alwafi comme deduction de la premiere question
l ennoncée  est correcte il s agit de deduire la limite

\lim_{x\to 0} (\arctan x-x)/x²

Posté par
alwafire : limite de la fonction arctan 26-11-23 à 23:08

Bonsoir carpediem,

med1957 a écrit que : x - Arctan x =Arctan(tan x) - Arctan x  (*) et d'après 1)on a
( tan x - x)/(1+tan^2(x)) < x- Arctan x  < (tan x - x)/(1+ x^2)   (**) .
(*) n'est vraie que lorsque x est dans ] - /2 ,/2[ .
En appliquant 1) , (**) n'est vraie que si tan x  > x 0et donc que si x est dans ]0,/2[

med1957 a encadrer ensuite (x - Arctan x)/ x^2  (***)  et a été incapable de calculer les deux limites des expressions encadrant (***) en 0  (il s'agit en fait de deux limites à droite en 0 ) , Son but était d'appliquer le théorème des gendarmes pour calculer la limite de l'expression (***) en 0 ( en fait à droite en 0).

Mon intervention avait pour but de le débloquer sur le calcul des deux limites qui lui ont posé problème . Ma réponse n'avait par conséquent rien d'artificielle et utilise bel et bien la question 1).


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !