Bonjour

Limite quand x tend vers quoi ?

Il n'y aurait pas une multitude de réponses à cette question en utilisant un moteur de recherche de base ?

Bonjour, il n'y a pas de miracle,
ou bien tu vois un accroissement (sinx x - sin 0 ) /(x-0) donc de la forme (f(x)-f(0))/(x-0) qui tend par définition vers f'(0) donc ici vers cos(0)=1. C'est très satisfaisant comme démonstration.

ou bien tu fais dans le géométrique et tu dis que MH est plus petit que l'arc MI

MH= sin x ; l'arc MI égal à x donc sin x < x
tu intègres de 0 à x, ça donne 1-x²/2 cos x 1
et encore une fois x-x³/6 sin x x
tu en déduis que 1-x²/6 sin x / x 1 et donc que sin x / x tend bien vers 1

mais il y a d'autres démonstration qui ne demande pas de connaitre l'intégration.

@jeveuxbientaider: tu portes mal ton nom

"""avec un minimum d'effort, je suis sûr que tu pourrais le deviner""

Oui j'avais deviné mais à ce niveau, le manque de rigueur me chagrine.

sinx/x étant une forme indéterminée seulement pour x tendant vers 0, cela me paraissait plutôt évident. Enfin bon, si ça t'amuse de faire la fine bouche...

Glapion, merci pour la réponse, mais je demandais une démonstration sans utiliser le fait que sin'=cos ou cos'=sin, ce que tu utilises dans les deux cas.
Du coup, une démonstration sans intégration ou dérivation me conviendrait.
Ou alors, une démonstration de sin'=cos ou cos'=sin sans utiliser la limite sinx/x, car à ce moment là cette dernière limite devient facile à montrer.

je pense que les compétences mathématiques de WilliamsM007 sont suffisamment grandes (et très estimé sur le forum) pour te permettre de telles remarques... et je ne vois pas quel manque de rigueur tu vois à cette question bref... sans commentaire !!

@william: un DL te conviendrais t-il ? (mais t'as déjà dû y penser...)

au pire, il y a toujours bernoulli-l'hospital... mais je doute que c'est ce que tu recherches !!

l'hospital, développements limités, tout ça c'est pareil, ça utilise la dérivation.
Mais il y a des démonstrations purement géométriques. Par exemple écrit que l'aire du triangle OHM est inférieur à celle du secteur OIM et regarde ce que ça donne.

idm, merci pour ton message

Le DL en effet paraît bien tentant, mais on connaît ses coefficients grâce à la formule de Taylor, coefficients qui justement s'expriment en fonction des dérivées successives de sinus, en particulier cela utilise sin'=cos.
On pourrait éventuellement démontrer le DL au premier ordre "à la main", mais alors on utilise l'inégalité de Taylor-Lagrange, ou alors on fait la bonne vieille méthode qui consiste à étudier la différence, mais dans tous les cas on fait intervenir la dérivée (je ne vois pas comment ne pas la faire intervenir a priori :/ )

Et justement, je ne veux pas faire intervenir la dérivée, parce que la démonstration (du moins celle que je connais) utilise le fait que sinx/x tend vers 1 (quand x tend vers 0).
C'est donc le serpent qui se mord la queue !

Bernouilli-l'hospital est aussi un réflexe bien tentant, mais cela fait encore intervenir la dérivée ^^

william:

william:

ni géométrique, ni utilisant les dérivées, DL, etc ... je ne vois pas. il ne faut pas être maso quand même

Haha ^^

Bon eh bien va pour une démonstration géométrique ! Mais alors si possible il faudrait qu'elle ne paraisse pas trop axiomatique, dans le genre "si on fait ça, on sent bien que..."

Glapion, pour reprendre ton idée, nous avons sinx<x, en tout cas pour x>0.
L'idée de l'intégration serait donc à proscrire (car utilise cos'=sin).

Bonsoir Bill,

Il faudrait que tu décrives le cadre dans lequel s'inscrit ta demande. "J'aimerais prouver (...)" me semble insuffisant.

Thierry

oops une faute, il faut lire : sinx/x > 1/cos x, la conclusion est toujours valable, car 1/cosx tend bien vers 1 quand x tend vers 0.

Si on a x<0, on écrit sin(x)/x = sin(-x)/(-x) et -x>0 : cf cas précédent.

ouf

sur tout on a que

Je me suis planté dans l'inégalité...

On va mettre ça sur le compte de la fatigue x)

mon post de 23:39 permet bien de conclure sur la limite

Parfait idm

Comme ça on peut écrire x<sinx/cosx et donc  cosx < sinx/x <1 d'où la conclusion avec le théorème des gendarmes !

Alors comment montrer que sinx<x<tanx ?
On sait que sinx<x.
Soit I le point de coordonnées (1;0), et soit la droite qui forme l'angle x avec l'horizontale. Soit M le point d'intersection avec le cercle, et soit N le point d'intersection avec la droite verticale issue de I.
Le secteur OIM a pour aire x/2, le triangle ONI a pour aire tanx/2
Une inégalité sur les aires donne x/2<tanx/2 soit x<tanx

Bonsoir Idm,

Tu sais bien qu'un dessin ne constitue pas une démonstration.

Thierry

thierry:

idm, l'étude de fonction risque fort de nous conduire subrepticement à une dérivation

En fait je ne sais pas si c'est bien clair mais ma question était plutôt rhétorique, dans la mesure où j'y réponds après :

ah mince !!  j'avais omis ce détail !!
promis j'y réfléchirais demain !! (et regarderais ta démonstration)
en attendant, bonne nuit

Bonjour.

@WilliamM007.

On ne peut pas avoir le beurre et l'argent du beurre. La définition que tu as prise pour fonction sinus est celle comme mesure algébrique de la projection d'un point M du cercle etc,etc,... Il faudra bien pour démontrer que revenir à la définition du sinus. Toutes les propriétés qu'on pourra démontrer se démontrent à partir de considérations géométriques même sous-jacentes. Si tu ne veux pas utiliser des considérations géométriques, il faudra définir autrement (et ), par exemple et et redémontrer que ces 2 fonction coïncident  avec les mêmes fonctions définies géométriquement. Dans ce cas, on a d'un côté:

  

et l'autre:  

On aura par identification:   et ie et , n'est alors qu'une conséquence de la dérivabilité en 0 et de de la valeur de cette dérivée.

Bonjour,

Une petite idée qui m'a traversé l'esprit : acceptes-tu la concavité de la fonction sur ? Oui ?

Soit une suite décroissante qui tend vers 0 (avec ). Alors par concavité du sinus, tu peux montrer que la suite



est croissante. De plus, elle est majorée par 1 puisque . Donc elle converge vers une limite L. Il reste à montrer que cette limite est aussi proche que l'on veut de 1. Et tu peux conclure.

Bonjour.

@delta-B

En effet il paraît nécessaire de devoir se ramener à un moment ou un autre à la géométrie, par définition du sinus. La démonstration avec sinx=Im(exp(ix)) me paraît pas mal. Je ne vois pas de serpent qui se mord la queue (si l'on utilise la définition de exp(ix) comme somme de série entière). Merci

@licou6

Merci pour ton idée. Juste une chose me dérange : la concavité est connue, mais comment la montres-tu ? Dire que la dérivée seconde est négative, ou que la dérivée est décroissante, ou que la courbe se trouve en-dessous de sa tangente, j'ai l'impression que l'on doit toujours utiliser la dérivée.

Tu n'as pas besoin de dériver pour montrer la concavité. Voici une démonstration où ils utilisent juste la propriété d'addition des angles du sinus ainsi que le fait que :

http://planetmath.org/concavityofsinefunction

Bonne soirée.

Démonstration très élégante. Merci

Bonjour

en classe de première S, on le démontre en comparant des aires, après avoir remarqué que le cas x négatif se déduit du cas x positif, et comme on veut faire tendre x vers 0, x entre 0 et pi/2 suffit bien.
en cherchant dans des bouquins de première S, tu devrais trouver cette preuve, dans les exercices.
On le fait avant la dérivation, justement pour pouvoir ensuite établir les dérivées des fonctions trigo
et les séries entières pour définir les exponentielles complexes, c'est si facile que ça de faire le lein avec la bonne vieille fonction sinus, sans dérivée donc sans série de Taylor ?