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Niveau école ingénieur
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Limite de suite

Posté par
AitOuglif
27-06-22 à 00:10

Bonsoir
Je suis tombé sur un exercice marqué difficile. Il s'agit de la limite de la suite u définie pour tout n\in \N^* par u_n= \sum_{k=1}^{n}\frac{k}{n+k}.
Je montre assez péniblement qu'elle est croissante(manipulations pénibles d'inégalités, la cuisine est toute sale) en faisant apparaître une différence télescopique. Ensuite, je n'ai pas réussi à conjecturer à la main la limite. Je suis passé en mode machine et il m'a semblé que la limite était +\infty. Je me penche sur le cas u_{2n}-u_n, que je minore facilement par \frac{3n+1}{6}. Si la limite était finie on aurait 0 à gauche et un terme tendant vers +\infty à droite, absurde. Donc on a le résultat. Mais comment aurait-on pu conjecturer cette limite? J'ai tourné en rond des lustres avant de passer à la machine, c'est pas sympa comme exo??

Posté par
BlackBird
re : Limite de suite 27-06-22 à 00:50

Salut,
u_{n}=\frac{1}{n}\Sum_{k=1}^{n} \frac{k}{1+\frac{k}{n}}
Donc u_{n} \geq \frac{1}{2n}\Sum_{k=1}^{n} k
Donc u_{n} \geq \frac{n+1}{4}

Généralement, factoriser par le truc le plus "gros" (ici n) ou le plus "petit" ça aide à gagner en visibilité.
L'intuition c'est avant tout une question d'automatismes et de travail. Si t'as vraiment pas d'idée, passer à l'ordi et calculer des termes comme tu le fait ça peut être une bonne idée.

Posté par
ty59847
re : Limite de suite 27-06-22 à 01:09

Si m = n+1 alors
Um est une somme de n+1 termes.
Les n derniers termes de cette suite peuvent être comparés 1 à 1 aux n termes de la somme Un
k/(n+k) est il plus grand, ou plus petit que (k+1)/(n+1+k+1)
k(n+k+2) est-il plus grand ou plus petit que (k+1)(n+k)
Il est plus petit.
Donc dans la somme Un, on additionne n termes, chacun plus petit que le terme correspondant de Um (rappel, on prend les n derniers termes de la somme Um)
Et en plus, dans la somme Um , on ajoute encore un terme 1/(m+1)
Donc la suite est croissante.

Sa limite ?
Un = \Sigma \dfrac{k}{n+k} \ge  \Sigma \dfrac{k}{n+n}
Et   \Sigma \dfrac{k}{n+n}  = \dfrac{1}{2n} \Sigma k = \dfrac{n(n+1)}{4n} =  \dfrac{n+1}{4}
Donc la limite est bien +\infty

Posté par
AitOuglif
re : Limite de suite 27-06-22 à 01:10

Merci beaucoup BlackBird. Comment ai-je fait pour ne pas voir ça…

Posté par
AitOuglif
re : Limite de suite 27-06-22 à 01:13

Merci ty59847
Punaise! En fait, je crois que je me suis fait avoir par l'astérisque indiquant la limite comme « difficile »…Je pense que sans ça, j'aurais trouvé sans trop de soucis….😰

Posté par
jandri Correcteur
re : Limite de suite 27-06-22 à 09:56

Bonjour,

en faisant apparaitre une somme de Riemann on peut facilement calculer un équivalent de u_n.



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