Bonsoir
Je suis tombé sur un exercice marqué difficile. Il s'agit de la limite de la suite définie pour tout par .
Je montre assez péniblement qu'elle est croissante(manipulations pénibles d'inégalités, la cuisine est toute sale) en faisant apparaître une différence télescopique. Ensuite, je n'ai pas réussi à conjecturer à la main la limite. Je suis passé en mode machine et il m'a semblé que la limite était . Je me penche sur le cas , que je minore facilement par . Si la limite était finie on aurait 0 à gauche et un terme tendant vers à droite, absurde. Donc on a le résultat. Mais comment aurait-on pu conjecturer cette limite? J'ai tourné en rond des lustres avant de passer à la machine, c'est pas sympa comme exo??
Salut,
Donc
Donc
Généralement, factoriser par le truc le plus "gros" (ici ) ou le plus "petit" ça aide à gagner en visibilité.
L'intuition c'est avant tout une question d'automatismes et de travail. Si t'as vraiment pas d'idée, passer à l'ordi et calculer des termes comme tu le fait ça peut être une bonne idée.
Si m = n+1 alors
Um est une somme de n+1 termes.
Les n derniers termes de cette suite peuvent être comparés 1 à 1 aux n termes de la somme Un
k/(n+k) est il plus grand, ou plus petit que (k+1)/(n+1+k+1)
k(n+k+2) est-il plus grand ou plus petit que (k+1)(n+k)
Il est plus petit.
Donc dans la somme Un, on additionne n termes, chacun plus petit que le terme correspondant de Um (rappel, on prend les n derniers termes de la somme Um)
Et en plus, dans la somme Um , on ajoute encore un terme 1/(m+1)
Donc la suite est croissante.
Sa limite ?
Et
Donc la limite est bien
Merci ty59847
Punaise! En fait, je crois que je me suis fait avoir par l'astérisque indiquant la limite comme « difficile »…Je pense que sans ça, j'aurais trouvé sans trop de soucis….😰
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