Bonsoir,
Je m'entraîne aux oraux de Mines - Télécom et pour ce faire, je refais des sujets d'exercices déjà tombés les années précédentes. L'un des exercices aurait pu paraître simple, je vous le présente :

Calculer la limite lorsque n tend vers +oo, avec a > 1, de :

((a+1)a^(1/n) - a(a+1)^(1/n))^n

Lorsqu'on voit des n à la puissance, le premier réflexe est de passer à l'exponentielle puis de voir si on peut appliquer un développement limité.

Mais je n'ai pas réussi à obtenir une expression de la forme 1-x avec x qui tend vers 0 dans le ln qui s'en suit.

Je me suis peut-être perdu dans mes calculs, mais j'ai l'impression de ne pas y parvenir par cette méthode.


Je me suis alors mis en tête de chercher par une autre méthode, sans passer par les exponentielles

En factorisant par (a+1)a^1/n, en sachant que (a+1)^(1/n)/a^(1/n) -> 1, j'ai cru parvenir à bout en trouvant comme limite a.

Cependant, ce n'est pas très légal de faire de telles opérations lorsqu'un n est à la puissance. De plus, en cherchant la limite manuellement avec la calculatrice, cela ne correspond pas du tout.


Il est vrai que l'heure tardive n'optimise pas mon efficacité. Mais quelles pistes me suggérez-vous pour ce calcul de limite ?


Merci beaucoup