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limite de suites

Posté par
aya4545 21-01-22 à 12:29

salut
priere me donner un coup de pouce pour achver cet exercice
on se donne deux suites (a_n(x)) \quad (b_n(x)) tel que
a_n(x)=(1+\frac{x}{n})^n \quad b_n(x)= (1-\frac{x}{n})^{-n}  

  montrer que les deux suites sont adjacentes

j ai montré que  (a_n) est croissante en effet
  \frac{a_{n+1}(x)}{a_n(x)}=\frac{(1+\frac{x}{n+1})^{n+1}}{(1+\frac{x}{n})^n}}=(\frac{1+\frac{x}{n+1}}{1+\frac{x}{n}})^{n+1}(1+\frac{x}{n})=(1-\frac{x}{(n+1)(n+x)})^{n+1}(1+\frac{x}{n})\geq (1-\frac{x}{n+x})(1+\frac{x}{n})\geq 1 dapres Bernouli
j ai montré de meme que (b_n) est decroissante mais incapable de montrer que leur difference dend vrers 0

Posté par
lakere : limite de suites 21-01-22 à 13:13

Bonjour,

Tu peux calculer \ln\left(\dfrac{b^n}{a^n}\right)

puis utiliser pour tout X>-1,   \dfrac{X}{X+1}\leq \ln(1+X)\leq X

  pour obtenir \lim\limits_{n\to +\infty}\dfrac{b_n}{a_n}=1

Il y a peut-être mieux ...

Posté par
Leilere : limite de suites 21-01-22 à 13:14

bonjour,

ne peux tu pas dire que
a_n(x)=(1+\frac{x}{n})^n =  (\frac{n+x}{n})^{n}  
et qu'elle tend vers 1 ?
de même pour bn(x) ?

Posté par
lakere : limite de suites 21-01-22 à 13:14

Zut :

  Tu peux calculer \ln\left(\dfrac{b_n}{a_n}\right)

Posté par
lakere : limite de suites 21-01-22 à 13:20

Bonjour Leile,

1^{\infty} est une FI au même titre que \dfrac{0}{0} et les autres.

D'ailleurs, la limite commune de a_n(x) et b_n(x) est e^x (mais pas 1)

Posté par
Leilere : limite de suites 21-01-22 à 13:23

bonjour lake,
je m'éclipse (d'autant que ma réponse est sans doute à côté de la plaque). Bonne journée.

Posté par
Leilere : limite de suites 21-01-22 à 13:25

messages croisés : tu as raison, je suis bien à côté !!  
Bonne journée.

Posté par
lakere : limite de suites 21-01-22 à 13:38

>> aya4545,

Je me rends compte que ma proposition n'est pas terrible ; en effet :

  \lim\limits_{n\to +\infty}\dfrac{b_n}{a_n}=1 n'implique pas que \lim\limts_{n\to + \infty}(b_n-a_n)=0

Je réfléchis ...

Posté par
larrechre : limite de suites 21-01-22 à 14:02

Bonjour,

Même si les limites sont finies ?

Posté par
lakere : limite de suites 21-01-22 à 14:17

Bonjour larrech,

Le sait-on dans l'état actuel des choses (avant d'avoir démontré qu'elles étaient adjacentes ?)

Autre piste :

0\leq b_n(x)-a_n(x)= b_n(x)\left[1-\left(1-\dfrac{x^2}{n^2}\right)^n\right]\leq b_n(x).\dfrac{x^2}{n^2 } (toujours avec Bernoulli)

Et (b_n), décroissante donc majorée.

Posté par
lakere : limite de suites 21-01-22 à 14:19

Zut encore :

  

Citation :
0\leq b_n(x)-a_n(x)= b_n(x)\left[1-\left(1-\dfrac{x^2}{n^2}\right)^n\right]\leq b_n(x).\dfrac{x^2}{n } (toujours avec Bernoulli)

Posté par
aya4545re : limite de suites 21-01-22 à 14:28

salut
merci
ona \frac{a_n}{b_n}=(1-\frac {x^2}{n^2})^n\geq 1-\frac{x^2}{n} d apres Bernouli
1-\frac{x^2}{n}\leq \frac{a_n}{b_n}<1
donc lim an/bn=1 mais comme vous avez dit lake est ce qu on peut deduire que lim(an-bn)=0

Posté par
aya4545re : limite de suites 21-01-22 à 14:46

merci à vous  et à Bernouli egalement

Posté par
aya4545re : limite de suites 21-01-22 à 14:58

je m excuse pour Bernoulli

Posté par
larrechre : limite de suites 21-01-22 à 15:54

Tentative.

Pour x fixé,

\dfrac{a_n}{b_n}=\left(1-\dfrac {x^2}{n^2}\right)^n\leq 1  dès que n>|x|

Soit alors N le plus petit entier strictement supérieur à |x|, alors, pour tout n\geq N

a_N  \leq a_n\leq b_n \leq b_N

dont on déduit que les suites (a_n) et (b_n) respectivement croissante et décroissante ont des limites finies.

Posté par
lakere : limite de suites 21-01-22 à 16:19

Tu as raison larrech :

  A partir d'un certain rang N,

    - (a_n) est croissante majorée par b_N

    - (b_n) est décroissante minorée par a_N

et \lim\limits_{n\to +\infty}\dfrac{b_n}{a_n}=1\Longrightarrow \lim\limits_{n\to +\infty}(b_n-a_n)=0

Mais il faut bien avouer que ce que j'avais posté à 13h13 était "laborieux".
D'ailleurs, aya4545 a trouvé un raccourci à 14h28 avec Bernoulli.   à lui.

Il reste que je pense que 14h17 (rectifié à 14h19) et toujours avec Bernoulli, est la méthode attendue

Posté par
larrechre : limite de suites 21-01-22 à 16:25

Bonjour lake,

Oui, tu as raison , ton application de l'inégalité de Bernoulli de 14h17/19 est très vraisemblablement la démonstration attendue

Posté par
aya4545re : limite de suites 21-01-22 à 17:38

merci pour ces thechniques de demonstration
j ai affiné  ton resultat  lake de  14h17 c est un tres bon resultat
mais je n ai pas bien saisie celui de 16h 19
on peut demontrer que la suite (bn-an) est  decroissante minorée par a_N-b_N donc elle est convergente mais je n arive pas a assimiler que sa limite est 0

Posté par
lakere : limite de suites 21-01-22 à 17:59

larrech a bel et bien démontré que les suites (a_n) et (b_n) convergeaient vers des limites finies (éventuellement différentes).

\lim\limits_{n\to +\infty}\dfrac{b_n}{a_n}=1\Longrightarrow \lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{b_n-a_n}{a_n}=0

Mais comme (a_n) converge vers L, ceci implique que \lim\limits_{n\to +\infty}(b_n-a_n)=0

Un exemple qui peut te faire comprendre les problèmes :

    u_n=n et v_n=n+1

on a bien \lim\limits_{n\to +\infty}\dfrac{v_n}{u_n}=1 mais \lim\limits_{n\to +\infty}(v_n-u_n)=1 (et pas 0 )

Posté par
aya4545re : limite de suites 21-01-22 à 20:57

merci lake
donc on peut conclure  si \lim\frac{a_n}{b_n}=1 et si l une des deux suites est convergente alors la limite de leur difference est nulle
\lim\limits_{n\to +\infty}\dfrac{b_n}{a_n}=1\Longrightarrow \lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{b_n-a_n}{a_n}=0 mais si a_n \to +\infty alors \frac{1}{a_n} \to 0 donc  \frac{a_n-b_n}{a_n} \to 0 sans  que a_n-b_n tend vers zero
le contre exemple que vous m avez donné est tres significatif merci


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