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Limite de suites arithmético-géométriques

Posté par
Jordielnino
02-11-21 à 23:04

Bonjour,
Voici le problème qu'il m'a était donné,
Soit (un) une suite définie par son premier terme u0 et, pour tout entier naturel n, par la relation un+1=aun+b (a et b étant deux réels non nul tels que a \neq1)
Montrer que si a appartient à l'intervalle ]-1;1[, alors la suite (un) a pour limite  \frac{b}{1-a}.

Voici ma démarche
Je suis d'abord passé par une fonction auxiliaire (vn)
          avec Vn = Un + k avec k de manière que (Vn) soit une suite géométrique
en cherchant j'ai trouvé que k = - \frac{b}{1-a}
On voit ensuite que (Vn) est une suite géométrique de raison a
Et on peut ainsi en déduire la réponse de la question.

Cependant voici mon problème,
J'ai trouvé k en tâtonnant mais je n'arrive pas à le retrouver par le calcule. Je vois dans certain forum qu'ils utilisent le théorème de point fixe. Cependant ce théorème n'a pas encore été vu en cours.
Pouvez-vous m'indiquer la méthode à suivre pour retrouver k par le calcul

Posté par
jsvdb
re : Limite de suites arithmético-géométriques 02-11-21 à 23:36

Bonjour Jordielnino.

On cherche k tel que (v_n)_n soit une suite géométrique.
Vu que u_n = au_{n-1}+b, il n'est pas stupide de penser que (v_n)_n puisse être de raison a.
Partons donc sur cette idée trouver k pour que (v_n)_n soit une suite géométrique de raison a. Ça marchera ou ça ne marchera pas, mais qu'importe puisqu'on cherche !

On pose donc v_n = u_n + k et v_n est censée vérifier v_n = av_{n-1}.

il vient donc de suite que u_n+k = a(u_{n-1}+k)

Or u_n = au_{n-1}+b donc \blue au_{n-1}+b +k= a(u_{n-1}+k)

Et tirer k = \frac{b}{a-1}=\frac{-b}{1-a} de l'expression en bleu est un jeu d'enfant.

Maintenant, il faut évidemment vérifier que ce k convient !

Posté par
jsvdb
re : Limite de suites arithmético-géométriques 02-11-21 à 23:38

On notera que si l'on pose f(x) = ax+b, a\neq 1 alors le coefficient k trouvé ci-dessus vérifie f(k) = k, c'est-à-dire que c'est un point fixe de f.



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