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Limite de suites arithmético-géométriques
Bonjour,
Voici le problème qu'il m'a était donné,
Soit (un) une suite définie par son premier terme u0 et, pour tout entier naturel n, par la relation un+1=aun+b (a et b étant deux réels non nul tels que a 1)
Montrer que si a appartient à l'intervalle ]-1;1[, alors la suite (un) a pour limite .
Voici ma démarche
Je suis d'abord passé par une fonction auxiliaire (vn)
avec Vn = Un + k avec k de manière que (Vn) soit une suite géométrique
en cherchant j'ai trouvé que k =
On voit ensuite que (Vn) est une suite géométrique de raison a
Et on peut ainsi en déduire la réponse de la question.
Cependant voici mon problème,
J'ai trouvé k en tâtonnant mais je n'arrive pas à le retrouver par le calcule. Je vois dans certain forum qu'ils utilisent le théorème de point fixe. Cependant ce théorème n'a pas encore été vu en cours.
Pouvez-vous m'indiquer la méthode à suivre pour retrouver k par le calcul
Bonjour Jordielnino.
On cherche k tel que soit une suite géométrique.
Vu que , il n'est pas stupide de penser que
puisse être de raison
.
Partons donc sur cette idée trouver k pour que soit une suite géométrique de raison
. Ça marchera ou ça ne marchera pas, mais qu'importe puisqu'on cherche !
On pose donc et
est censée vérifier
.
il vient donc de suite que
Or donc
Et tirer de l'expression en bleu est un jeu d'enfant.
Maintenant, il faut évidemment vérifier que ce k convient !
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