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Limite des suites
Bonjour
J'espère que quelqu'un pourra m'aider avec cette question
"a" est un réel de l'intervalle]0,1[
On considère la suite numérique Un et Sn
Tel que : Un=(1-a)n
Sn= la somme de ak allant de 0 jusqu'à n
1) montrer que Un et Sn convergent et déterminer sa limite
Alors ce que j'ai fais d'abord c'est d'étudier la monotonie de chacune des deux suites
Un+1-Un=(-a)n j'ai conclus donc que la monotonie change enfonction si n est pair ou impair et c'est là que j'ai bloqué pour la première fois
Puis pour calculer la limite on a (1-a) appartient à ]-1,1[ donc la limite de Un est 0
Par contre pour Sn on a la somme de "0" infiniment de fois est une forme indéterminée donc j'ai bloqué une seconde de fois
qu'y a-t-il à détailler dans
ton calcul est faux ...
c'est donc à toi de nous montrer ...
J'ai compris mon erreur
Un+1-Un=(1-a)n.(-a)
Donc Un est décroissante et on a Un est minoré par 0 donc elle est convergente et sa limite est 0
Mais pour Sn on :
Sn+1 -Sn= (1-a)n+1 donc Sn est croissante
Il me reste un problème c'est montrer que Sn est majoré
Je pense que j'ai trouvé
On a 1-a <1 donc (1-a)n<1
Alors Sn<n+1
Alors Sn est convergente
Et pour la limite comment je pourrais faire
Un+1-Un=(1-a)n.(-a)
Donc Un est décroissante pourquoi ?
et on a Un est minoré par 0 pourquoi ? donc elle est convergente
et sa limite est 0 non prouvé
Sn+1 -Sn= (1-a)n+1 donc Sn est croissante pourquoi ?
On Un+1-Un= (1-a)n+1-(1-a)n =(1-a)n.(-a)
On a 1-a>0 et a>0 donc -a<0 et (1-a)n>0 donc Un+1<Un alors (Un)n est décroissante
On a aussi (1-a)n>0 donc Un est minoré par 0
On a (1-a) appartient à [0,1] et on sait que :
Lim qn =0 si q appartient à ]-1,1[ donc lim de an est 0
Et pour Sn on a :
Sn+1-Sn= (1-a)n+1 >0 donc Sn+1>Sn alors Sn est croissante
ok !! là c'est très bien
es-tu sûr qu'on te demande la limite de S_n ?
1) montrer que Un et Sn convergent et déterminer sa limite
et si c'est sa alors laquelle ?
ne reconnais-tu pas (si tu as déjà vu) en (u_n) un cas particulier de suite ?
Non on me demande clairement de calculer la limite de Sn
Et pour Un ça me rappelle juste la propriété qui dit que (1+x)n>1+x
Ah ouii j'ai pas du tout remarquer que Un est une suite géométrique de raison 1-a
donc Sn=U0 × 1- (1-a)n+1 / 1-(1-a)
=1-(1-a)n+1 / a
=1/a - (1-a)n+1/a
Donc Sn < 1/a alors elle est majoré par 1/a et croissante donc elle est convergente et sa limite est 1/a
Merci beaucoup pour votre aide 
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