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Limite et continuité de fonctions trigonométriques

Posté par
Othnielnzue23 26-02-20 à 08:37

Bonjour , j'ai besoin de vos aides.

Merci d'avance.

1) Démontrer que x >0 , x²+x sin x\geq x²-x


2)En déduire \lim_{x\to+\infty}(x²+xsinx)



3) Démontrer que x <0,1 +\dfrac{1}{x} ≤ \dfrac{x+cosx}{x} ≤1-\dfrac{1}{x}


4) Déduire\lim_{x\to-\infty}\dfrac{x+cosx}{x}


5) Démontrer que x >0 , \dfrac{x}{2+cosx}≥\dfrac{x}{3}


6)En déduire \lim_{x\to+\infty}\dfrac{x}{2+cosx}.


7) calculer les limites suivantes :

a) \lim_{x\to0}\dfrac{sin(4x)}{2x}



b) \lim_{x\to0}\dfrac{sin 3x}{2 x cos 4x}



c)\lim_{x\to-4}\dfrac{sin(x+4)}{x+4}


d)\lim_{x\to-1}\dfrac{sin(x+1)}{sin(x²-1)}

8) Soient a  et   b  deux nombres réels non nuls . Calculer les limites suivantes :

a) \lim_{x\to0}\dfrac{sin bx}{sin ax}

b)\lim_{x\to0}\dfrac{tan bx}{tan ax}.


9) Soit f une fonction numérique continue en a.

Démontrer que si f est paire ou impaire , alors elle est continue en -a.

Posté par
kenavo27re : Limite et continuité de fonctions trigonométriques 26-02-20 à 11:33

Bonjour
1)
Pour commencer

-1≤ sinx ≤1

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Limite et continuité de fonctions trigonométriques 26-02-20 à 12:11

Bonjour,
Et si pour commencer tu nous disais ce que tu sais faire ou pas et ce que tu as essayé ?

Posté par
Othnielnzue23re : Limite et continuité de fonctions trigonométriques 26-02-20 à 14:16

Oui ,

1) On sait que

-1\leq sin   x \leq1

Pour x>0 ;

-x\leq x   sin  x \leqx

-x+x²\leq x²+x    sin  x\leqx+x²

==>x²+x sin  x \geq x²-x.


2)\lim_{x\to+\infty}(x²+x   sin  x)

On a : \lim_{x\to+\infty}x²-x=\lim_{x\to+\infty}x²=+\infty


Donc \lim_{x\to+\infty}(x²+x sin  x)=+\infty.


3)On a -1\leqcos  x\leq1

Pour x>0

-1+x\leq x+cos  x\leq1+x

-\dfrac{1+x}{x}\geq\dfrac{x+cos   x}{x}\geq\dfrac{1+x}{x}

-\dfrac{1}{x}+1\geq\dfrac{x+cos  x}{x}\geq\dfrac{1}{x}+1

1-\dfrac{1}{x}\geq\dfrac{x+cos x}{x}\geq1+\dfrac{1}{x}

==>\dfrac{x+cos  x}{x}\leq1-\dfrac{1}{x}

4) \lim_{x\to-\infty}\dfrac{x+cos    x}{x}

On a \lim_{x\to-\infty}1-\dfrac{1}{x}=1

D'où \lim_{x\to-\infty}\dfrac{x+cos  x}{x}=1



5) On a -1\leqcos   x\leq1


2-1\leq2+cos   x\leq2+1

1\leq2+cos    x\leq3

x\geq\dfrac{x}{2+cos     x  }\geq\dfrac{x}{3}

x\geq\dfrac{x}{2+cos  x}\geq\dfrac{x}{3}

==> \dfrac{x}{2+cos      x}\geq\dfrac{x}{3}


6) \lim_{x\to+\infty}\dfrac{x}{3}=+\infty

D'où \lim_{x\to+\infty}\dfrac{x}{2+cos     x}=+\infty

7) Je bloque .

Posté par
kamikazre : Limite et continuité de fonctions trigonométriques 26-02-20 à 14:29

Bonjour Othnielnzue23 , comment fais tu pour écrire aussi bien en Latex ?

Alors pour 7 )penses au théorème des gendarmes ...

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Limite et continuité de fonctions trigonométriques 26-02-20 à 14:31

Une méthode très utile pour démontrer une inégalité de la forme \; A < B \; quand on ne sait pas comment faire :
Transformer \; B-A \; en espérant trouver que c'est positif.

Pour 4), ton raisonnement est incomplet. Il faut utiliser le théorème des gendarmes.

Pour 7), utiliser la limite de \dfrac{sin(X)}{X} quand X tend vers 0.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Limite et continuité de fonctions trigonométriques 26-02-20 à 14:34

Bonjour kamikaz
Le théorème des gendarmes pour 7), je ne le sens pas trop

Posté par
kamikazre : Limite et continuité de fonctions trigonométriques 26-02-20 à 14:42

Oups ...

Posté par
Othnielnzue23re : Limite et continuité de fonctions trigonométriques 26-02-20 à 14:53

Oui , Sylvieg , je vois bien mais là j'avais pas le choix .

Qu'est ce qui n'a pas marché au 4) ?

kamikaz , il suffit de t'entrainer au Latex , en faisant aperçu avant de poster .

Pour la 7) si c'était le théorème des gendarmes j'aurais presque terminer cet exo . Merci quand même.

7) \lim_{X\to0}\dfrac{sin(X)}{X}=1

Posté par
kamikazre : Limite et continuité de fonctions trigonométriques 26-02-20 à 14:56

Merci , je vous laisse ...

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Limite et continuité de fonctions trigonométriques 26-02-20 à 15:03

Pour la 4), ton résultat est bon mais le raisonnement est incomplet.
Pour x < 0 , (x+cos(x))/x < 1-1/x < 2020-1/x
Donc (x+cos(x))/x < 2020-1/x .
La limite en - de 2020-1/x est 2020. Mais (x+cos(x))/x n'a pas pour limite 2020.
Il faut utiliser l'encadrement et le fait que 1+1/x et 1-1/x ont tous les 2 la même limite.

Pour 7), utilise la limite de \dfrac{sin(X)}{X} quand X tend vers 0.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Limite et continuité de fonctions trigonométriques 26-02-20 à 15:06

Aide au LaTeX pour kamikaz :

Limite et continuité de fonctions trigonométriques

Ne pas oublier d'utiliser le bouton "Aperçu" avant de poster

Posté par
Othnielnzue23re : Limite et continuité de fonctions trigonométriques 26-02-20 à 16:24

Ah d'accord .

7)

\lim_{x\to+\infty}\dfrac{sin(X)}{X}=1

==> \lim_{x\to0}\dfrac{sin4x}{2x}=1.

a , b, c et d : c'est le même résultat


8) Je bloque .

Posté par
Othnielnzue23re : Limite et continuité de fonctions trigonométriques 26-02-20 à 16:30

a)

Je crois que c'est \lim_{x\to0}\dfrac{sin   bx}{sin   ax}=\lim_{x\to0}\dfrac{sin     b}{sin     a}

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Limite et continuité de fonctions trigonométriques 26-02-20 à 17:47

Tes réponses pour 7) et 8)a) sont fausses.

Seule 7)c) fait exception car \dfrac{sin(x+4)}{x+4} est de la forme \dfrac{sin(X)}{X}.

Posté par
Othnielnzue23re : Limite et continuité de fonctions trigonométriques 26-02-20 à 17:53

Ah d'accord , comment faire alors ?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Limite et continuité de fonctions trigonométriques 26-02-20 à 18:07

Faire apparaître \; \dfrac{sin(X)}{X} \; à chaque fois que tu veux utiliser sa limite en 0.
Je te le montre sur un autre exemple :

\dfrac{sin(5x)}{7x} = \dfrac{5}{7}\times\dfrac{sin(5x)}{5x} . La limite en 0 sera \; \dfrac{5}{7}\times1 .

Posté par
Othnielnzue23re : Limite et continuité de fonctions trigonométriques 26-02-20 à 18:50

D'accord , merci beaucoup.

\lim_{x\to0}\dfrac{sin  4x}{2x}

On a \dfrac{sin  4x}{2x}=\dfrac{4}{2}×\dfrav{sin  4x}{4x}


==>\lim_{x\to0}\dfrac{sin  4x}{2x}=\dfrac{4}{2}×1=2

\boxed{\lim_{x\to0}\dfrac{sin  4x}{2x}=2}



b) \lim_{x\to0}\dfrac{sin  3x}{2x}


On a : \dfrac{sin  3x}{2x}=\dfrac{3}{2}×\dfrac{sin  3x}{3x}


\lim_{x\to0}\dfrac{3}{2}×\dfrac{sin  3x}{3x}=\dfrac{3}{2}×1=\dfrac{3}{2}

\boxed{\dfrac{3}{2}}


c) on a la forme \lim_{X\to0}\dfrac{sin  X}{X}=1.


d) \lim_{x\to-1}\dfrac{sin  (x+1)}{x²-1}.



On a : \dfrac{sin  (x+1)}{x²-1}=\dfrac{x+1}{x²-1}×\dfrac{sin  (x+1)}{x+1}


==>\lim_{x\to-1}\dfrac{x+1}{x²-1}×1=\dfrac{x+1}{x²-1}

Or \dfrac{x+1}{x²-1}=\dfrac{x+1}{(x-1)(x+1)}=\dfrac{1}{x-1}=\dfrac{1}{x-1}

\lim_{x\to-1}\dfrac{1}{x-1}=-\dfrac{1}{2}

D'où \lim_{x\to-1}\dfrac{x+1}{x²-1}=-\dfrac{1}{2}

==> \boxed{\lim_{x\to-1}\dfrac{sin(x+1)}{x²-1}=-\dfrac{1}{2}}

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Limite et continuité de fonctions trigonométriques 26-02-20 à 19:16

Oui, pour le dernier, simplifier tout de suite :

\dfrac{sin (x+1)}{x²-1}=\dfrac{x+1}{x²-1}×\dfrac{sin (x+1)}{x+1} = \dfrac{1}{x-1}×\dfrac{sin (x+1)}{x+1}

Posté par
Othnielnzue23re : Limite et continuité de fonctions trigonométriques 26-02-20 à 19:37

D'accord , merci .

La question 8 )

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Limite et continuité de fonctions trigonométriques 26-02-20 à 20:50

C'est presque le même principe. Cherche un peu.

Posté par
Othnielnzue23re : Limite et continuité de fonctions trigonométriques 26-02-20 à 21:05

Oui ,

8)

a) \lim_{x\to0}\dfrac{sin  bx}{sin  ax}=\dfrac{b}{a}×\dfrac{sin  x}{sin  x}=\dfrac{b}{a}×1=\dfrac{b}{a}



b) \lim_{x\to0}\dfrac{tan  bx}{tan  ax}=\dfrac{b}{a}×\dfrac{tan  x}{sin  x}=\dfrac{b}{a}×1=\dfrac{b}{a}

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Limite et continuité de fonctions trigonométriques 27-02-20 à 07:29

Attention, là c'est n'importe quoi
Depuis quand sin(ax) = a sin(x) ?

Posté par
Othnielnzue23re : Limite et continuité de fonctions trigonométriques 27-02-20 à 07:56

Et ben ... C'est ce que j'ai essayé .

J'avais pas le choix , puisque c'est la même chose avec la 7) .

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Limite et continuité de fonctions trigonométriques 27-02-20 à 08:05

Si, tu as le choix de réfléchir sans inventer de fausses formules.

Citation :
C'est presque le même principe. Cherche un peu.
Ce n'est pas la même chose, puisque le sinus figure 2 fois.
Si les lettres a et b te gênent, commence avec la limite de \; \dfrac{sin (5x)}{sin(3x)} .

Posté par
Othnielnzue23re : Limite et continuité de fonctions trigonométriques 27-02-20 à 08:32

Oui , comment faire alors ?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Limite et continuité de fonctions trigonométriques 27-02-20 à 08:41

Tu saurais faire \; \dfrac{sin (5x)}{x} \; ?

Et \; \dfrac{x}{sin(3x)} \; ?

Posté par
Othnielnzue23re : Limite et continuité de fonctions trigonométriques 27-02-20 à 08:49

Je sais faire çà \dfrac{sin (5x)}{x}

mais pas çà

\dfrac{x}{sin(3x)}

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Limite et continuité de fonctions trigonométriques 27-02-20 à 09:16

\dfrac{sin (5x)}{x} = 5\times \dfrac{sin(5x)}{5x}

\dfrac{x}{sin(3x)} = \dfrac{3x}{sin(3x)}\times ??

Posté par
Othnielnzue23re : Limite et continuité de fonctions trigonométriques 27-02-20 à 13:24

\dfrac{x}{sin(3x)} = \dfrac{3x}{sin(3x)}\times1=\dfrac{3x}{sin(3x)}

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Limite et continuité de fonctions trigonométriques 27-02-20 à 14:19

Il faut se relire.
Tu as écrit ceci : \; A = 3A1 \; avec \; A = x/sin(3x) .

Posté par
Othnielnzue23re : Limite et continuité de fonctions trigonométriques 27-02-20 à 15:12

Ah oui, c'est ×3

Posté par
Othnielnzue23re : Limite et continuité de fonctions trigonométriques 27-02-20 à 15:16

Oups \\ \dfrac{x}{sin(3x)} = \dfrac{3x}{sin(3x)}\times\dfrac{1}{3}

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Limite et continuité de fonctions trigonométriques 27-02-20 à 15:19

C'est mieux...

Posté par
Othnielnzue23re : Limite et continuité de fonctions trigonométriques 27-02-20 à 15:27

Ok , et ensuite ?Que faire pour 8)

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Limite et continuité de fonctions trigonométriques 27-02-20 à 15:35

Citation :
Si les lettres a et b te gênent, commence avec la limite de \; \dfrac{sin (5x)}{sin(3x)} .

Posté par
Othnielnzue23re : Limite et continuité de fonctions trigonométriques 27-02-20 à 20:44

Ok,  \dfrac{sin  (5x)}{sin(3x)} limite en quoi ?

Posté par
Othnielnzue23re : Limite et continuité de fonctions trigonométriques 27-02-20 à 20:49

\lim_{x\to0}\dfrac{sin   bx}{sin  ax}=\dfrac{b}{x}×\dfrac{sin  bx}{bx} si j'ai bien compris.

Posté par
Othnielnzue23re : Limite et continuité de fonctions trigonométriques 27-02-20 à 20:51

Oups \lim_{x\to0}\dfrac{sin   bx}{sin  ax}=\dfrac{b}{\red{a}}×\dfrac{sin  bx}{bx}

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Limite et continuité de fonctions trigonométriques 27-02-20 à 21:00

Il faut faire Aperçu avant de poster et relire.
Où est passé sin(ax) ? Mais il y a peut-être un problème avec LateX

Essaye de perdre cette habitude d'écrire ces "lim" quand tu transformes des expressions.
Commence par transformer puis fait la limite.
Dans 8), on te demande une limite en 0.
J'essaye de te faire trouver un cas numérique ; donc oui, limite en 0.

Tu sais trouver la limite de \dfrac{sin(5x)}{5x} et celle de \dfrac{sin(3x)}{3x}

Essaye de transformer \dfrac{sin (5x)}{sin(3x)} pour faire apparaître \dfrac{sin(5x)}{5x} et \dfrac{sin(3x)}{3x}

Posté par
Othnielnzue23re : Limite et continuité de fonctions trigonométriques 27-02-20 à 23:54

Bonsoir , à ce que je vois , les résultats  du 26 -02 -20 à 18h 50 7b) et 7d) sont faux ...

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Limite et continuité de fonctions trigonométriques 28-02-20 à 08:23

Non.

Posté par
Othnielnzue23re : Limite et continuité de fonctions trigonométriques 28-02-20 à 13:48

Alors pourquoi 20h51 n'est pas juste ?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Limite et continuité de fonctions trigonométriques 28-02-20 à 14:06

Parce que tu y as écrit un truc du genre
lim f(x) = (b/a) g(x)
Ce qui n'a pas de sens car il ne doit plus y avoir de x dans le résultat final pour la limite.
Il faut opérer en 2 temps comme déjà dit :

Citation :
Commence par transformer puis fait la limite.

Tu transformes avec du x, jusqu'à ce que tu puisses conclure pour la limite.
Et, conclure pour la limite, c'est donner une réponse sans x.

Pourquoi n'essayes-tu pas de faire ce que j'ai conseillé à 21h ?

Posté par
Othnielnzue23re : Limite et continuité de fonctions trigonométriques 28-02-20 à 14:19

Parce que je ne comprends nullement rien à çà.

\dfrac{sin  (5x)}{sin(3x)} comment transformer pour  faire apparaître \dfrac{sin(5x)}{5x} et \dfrac{sin(3x)}{3x} ? Si 20h51 est faux .

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Limite et continuité de fonctions trigonométriques 28-02-20 à 14:24

J'aide un peu : \dfrac{sin(5x)}{x}\times\dfrac{x}{sin(3x)} = ?

Posté par
Othnielnzue23re : Limite et continuité de fonctions trigonométriques 28-02-20 à 14:39

\dfrac{sin(5x)}{x}\times\dfrac{x}{sin(3x)} = 5×\dfrac{sinx}{x}×\dfrac{3x}{sin3x}×\dfrac{1}{3}

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Limite et continuité de fonctions trigonométriques 28-02-20 à 14:46

sin(5x) n'est pas égal à 5sin(x).

\dfrac{sin(5x)}{x}\times\dfrac{x}{sin(3x)} = \dfrac{sin(5x)}{sin(3x)}

Et tu sais trouver la limite de chacun des 2 facteurs du produit \dfrac{sin(5x)}{x}\times\dfrac{x}{sin(3x)} .

Je ne vais plus être disponible.

Posté par
Othnielnzue23re : Limite et continuité de fonctions trigonométriques 29-02-20 à 16:48

\lim_{x\to0}\dfrac{sin (5x)}{sin  3x}=\lim_{x\to0}\dfrac{sin (5x)}{x}×\dfrac{x}{sin  3(x)}=5×\dfrac{sin x}{x}×\dfrac{1}{3}×\dfrac{3x}{sin 3x}=5×1×\dfrac{1}{3}×0=0



Merci beaucoup.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Limite et continuité de fonctions trigonométriques 29-02-20 à 17:13

Ne me remercie pas.
Car malgré mes remarques et conseils, tu persistes dans tes erreurs et écritures incorrectes.
Il y a deux temps dans la démarche :
1) Transformer des expressions sans écrire lim
2) Écrire des limites quand la transformation permet d'aboutir.

J'ai écrit cette égalité sans lim : \dfrac{sin(5x)}{x}\times\dfrac{x}{sin(3x)} = \dfrac{sin(5x)}{sin(3x)} . Et tu la reproduis avec des lim

\dfrac{sin (5x)}{x} n'a jamais fait 5×\dfrac{sin x}{x}
Et d'où sort ce zéro à la fin ?

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