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Limite et equation avec partie entiere

Posté par
claude-yi 24-02-12 à 21:04

Salut
J'aurais un exercice a proposer , ou a discuter plutot , pacque la , je suis a cours d'idées , comme je suis débutante , et qu'il s'agit de partie entiere , j'ai donc préférée poster la limite et l'equation ensemble; donc voici :

1- Lim x/5 E(2/x) avec x tend vers 0
2- E(x) + E (2x) = 3 (x+1) !!


En fait , pour la premiere , j'ai tout de suite penser a encadrer , mais j'arrive pas a finir quand il s'agit de x 0
Merci enomrment de me filer un coup de main , ou alors juste des astuces !

Posté par
critoure : Limite et equation avec partie entiere 25-02-12 à 07:36

Bonjour,

On a X-1<E(X)\le X.

Qu'obtiens-tu en encadrant ?
Donne ce que tu as fait/où ça coince

Posté par
claude-yire : Limite et equation avec partie entiere 25-02-12 à 12:48

Salut ,
Donc voila :
( 2/x ) -1 E(2/x) 2/x
en voulant multiplier chaque coté par x/5
On a pour x 0
( 2 / x ) - 1 - 1 et a partir de la , j'arrive plus a avancer , déja qu'avec le cas de x positive ca marche !

Posté par
critoure : Limite et equation avec partie entiere 25-02-12 à 13:06

Pour x>0 :
\large \frac{x}{5}(\frac{\sqrt{2}}{x}-1) < \frac{x}{5}E(\frac{\sqrt{2}}{x}) \le \frac{x}{5}\frac{\sqrt{2}}{x}

\large \frac{x}{5}\frac{\sqrt{2}-x}{x} < \frac{x}{5}E(\frac{\sqrt{2}}{x}) \le \frac{x}{5}\frac{\sqrt{2}}{x}

\large \frac{\sqrt{2}-x}{5} < \frac{x}{5}E(\frac{\sqrt{2}}{x}) \le \frac{\sqrt{2}}{5}

La limite quand x tend vers 0+ est donc \frac{\sqrt{2}}{5}.
C'est ce que tu as trouvé ?

Pour x<0 : il faut juste inverser le sens des inégalités car on multiplie par un nombre négatif :
\large \frac{x}{5}(\frac{\sqrt{2}}{x}-1) > \frac{x}{5}E(\frac{\sqrt{2}}{x}) \ge \frac{x}{5}\frac{\sqrt{2}}{x}
et le même calcul mène à la même limite lorsque x tend vers 0-.

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