En trichant à peine (j'ai regardé le blanké de
kaiser).
Soit F la primitive de
qui s'annule en a.
On a alors
et on veut faire tendre x vers 0.
f est continue en 0, donc si
, il existe
tel que
.
En considérant que
(on veut faire tendre x vers 0), on a
Essayons d'encadrer cette intégrale.
Sur l'intervalle
, f(t) appartient à
d'après la remarque précédente.
On peut en déduire que
Une intégration nous donne alors :
ou encore
.
Quand x tend vers 0, les membres de gauche et de droite tendent respectivement vers
et
, et on fait ensuite tendre également
vers 0 pour montrer que
, ce qui signifie que
en 0.
La conclusion s'en suit alors immédiatement, la limite recherchée est
La réponse est donc bien
Sans garantie...
D'ailleurs il y a très probablement un théorème qui m'évite tous ces embêtements, mais je ne le connais pas, alors j'essaye de me débrouiller avec les moyens du bord...