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limite exponentielle

Posté par
SecteDuChaton 03-07-23 à 12:55

Coucou

Je regardais une vidéo de blackpenredpen sur youtube sur le calcul de la limite suivante :

\lim_{n\rightarrow \infty } \left( 1+\frac{a}{n} \right) ^{bn} = e^{ab}

le youtubeur l'a utilisé en le posant comme ça et depuis 2 jours je cherche à comprendre d'où ça sort sans succès. Est ce que quelqu'un aurait une piste de réflexion ?

P.S. : si je me suis planté de classement je m'en excuse ça fait trop longtemps que je n'ai pas utilisé le forum

* modération > le niveau a été modifié  en fonction du profil renseigné *

Posté par
carpediemre : limite exponentielle 03-07-23 à 13:56

salut

\left( 1 + \dfrac a n \right)^{bn} = \left[ \left( 1 + \dfrac a n \right)^n \right]^b

le crochet tend vers e^a et par composée avec la fonction continue x \to x^b on en déduit le résultat ...

Posté par
phyelec78re : limite exponentielle 03-07-23 à 14:00

Bonjour,

pour retrouver ce résultat, il faut utiliser la formule y^x=e^{xln(y)} puis faire un DL à l'ordre du ln quand n tant vers \infty

(1+\dfrac{a}{n})^{bn}=e^{bn \ln(1+\dfrac{a}{n})}

Posté par
phyelec78re : limite exponentielle 03-07-23 à 14:02

@carpediem, nos postes se sont croisés, je vous laisse continué SecduChaton. Cordialement Phyelec78

Posté par
phyelec78re : limite exponentielle 03-07-23 à 14:03

erratum : @carpediem, nos postes se sont croisés, je vous laisse continuer avec SecDuChaton. Cordialement Phyelec78


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