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Limite exponentielle complexe

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CechIL 09-03-19 à 09:04

Salut à tous !

Je n'arrive pas à montrer que $|exp(2i\pi N z) -1|$ converge vers $0$ lorsque $N$ converge vers $+\infty$ avec $Im(z)>0$

J'ai trouvé une majoration : $exp(-\pi N y) 2 |sin(\piNz)|$ mais je vois pas comment conclure.

Posté par
CechILre : Limite exponentielle complexe 09-03-19 à 09:04

Merci à tous ! Désolé pour le latex.

Posté par
CechILre : Limite exponentielle complexe 09-03-19 à 09:04

CechIL @ 09-03-2019 à 09:04

Salut à tous !

Je n'arrive pas à montrer que $|exp(2i\pi N z) -1|$ converge vers $0$ lorsque $N$ converge vers $+\infty$ avec $Im(z)>0$

J'ai trouvé une majoration : $exp(-\pi N y) 2 |sin(\piNz)|$ mais je vois pas comment conclure.

Posté par
etniopalre : Limite exponentielle complexe 09-03-19 à 09:59

Si Im(z) est  nul  , z est un réel  .
Tu penses donc que  si t est r éel la suite   ut  : n   sin(nt)   converge vers 0


Regarde  si c'est vrai pour  t  = 1/2

Posté par
CechILre : Limite exponentielle complexe 09-03-19 à 11:05

Dans mon message il est écrit pour $Im(z)>0$

Posté par
carpediemre : Limite exponentielle complexe 09-03-19 à 11:44

pour l'instant c'est incompréhensible avec tous  ces pb de mise en forme ...

Posté par
luzakre : Limite exponentielle complexe 09-03-19 à 18:04

Bonsoir !
Sauf erreur, si x=\Re(z),\;y=\m(z),\;u_n=e^{2\mathrm{i}\pi nz}-1 \bigl|u_n\bigr|^2=4e^{-2\pi ny}(\cos^2(\pi nx)\sinh^2(\pi ny)+\sin^2(\pi nx)\cosh^2(\pi ny) \\                    =4e^{-2\pi ny}\bigl(\sinh^2(\pi ny)+\sin^2(\pi nx)\cosh^2(2\pi ny)\bigr).
Si x\in\Z la limite de n\mapsto |u_n| est 1.
Sinon, compte tenu des multiples valeurs d'adhérence de n\mapsto\sin(\pi nx) je doute fort que la limite soit nulle.

Posté par
etniopalre : Limite exponentielle complexe 09-03-19 à 18:06

Si  z = x  - it   où x et  t   +*

│exp(2inz)│ =   exp(-2nt) 0 puisque   2nt    +

Posté par
luzakre : Limite exponentielle complexe 10-03-19 à 08:50

Je croyais que c'était \lvert\exp(2\mathrm{i}\pi nz)-1\rvert ?

Posté par
CechILre : Limite exponentielle complexe 10-03-19 à 09:43

Tu crois bien Luzak !

Posté par
etniopalre : Limite exponentielle complexe 10-03-19 à 11:50

Si  z = x  +  it   où x      et  t     +*  la suite n   exp(2inz)  converge vers 0 car  │exp(2inz)│ =     exp(-2nt)  

Il n'est donc pas question de démontrer qu'elle  converge vers 1 .


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