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Limite exponentielles
Bonjour 
Je voudrai simplement être certain que ceci est correct :
il s'agit de déterminer les limites en -oo et +oo de la fonction f(x) = x + 3 - xe2x
Voici la solution que je propose :
On commence par poser X = 2x
Donc f(x) = (1/2)X + 3 - (1/2)X*eX
Lorsque x tend vers -oo, 2x = X tend également vers -oo , donc :
Lim (x+3) = Lim [(1/2)X+3] = - oo
x -> -oo X-> -oo
Lim (- x*e2x)
x-> -oo
= Lim [-(1/2)X*eX ]
X -> - oo
= 0
car on sait que lim (xex) = 0
x->-oo
On en déduit donc :
Lim f(x)
x-> -oo
= Lim [ (1/2)X + 3 - (1/2)X*eX ]
X -> -oo
= -oo
-------------------
Occupons nous maintenant du cas ou x -> +oo
f (x) = x + 3 - xe2x
= x [ 1 + (3/x) - e2x ]
Lim (2x) = +oo
x -> +oo
Lim (ex) = +oo
x -> +oo
Donc par composition des limites :
Lim (e2x) = +oo
x-> +oo
ce qui entraine
Lim (- e2x) = -oo
x -> +oo
Lim [ 1 + (3/x) ] = 1
x -> +oo
donc Lim [ 1 + (3/x) - e2x ] = -oo
x -> +oo
D'autre part
Lim x = +oo
x -> +oo
Donc Lim f(x) = -oo
x -> +oo
Je suis à peu près certain pour la limite de f en +oo, mais un peu moins pour -oo , je ne sais pas si je maitrise encore bien le changement de variable, donc si vous voyez une erreur (ou s'il y a une autre méthode, notamment pour le changement de variable) ...
Merci beaucoup
Nil
En fait je viens de m'apercevoir que pour -oo la méthode est inutilement compliquée, on pouvait directement conclure en factorisant par x , comme pour +oo 
Néanmoins je crois que dans certains cas, on ne peut pas faire autrement...
bonjour,
en effet, tu peux utiliser la même méthode que pour +
.
je pense que ce que tu as écris est correct, il n'y a pas de problème dans le changement de variable (en tout cas je n'en ai pas vu)
Bonjour,
Ca m'a l'air correct aussi
Mais on aurait pu se passer du changement de variable,
f(x) = x+3 -xe(2x)
en -oo, x-> -oo, a*e(2x) -> 0 quelque soit a. (ca s'appelle même les croissances comparées je crois).
donc en -oo , lim f(x) = lim (x) = -oo
f(x) = 3 + x -xe(2x)
f(x) = 3 + x(1-e(2x))
en +oo
x->+oo
e(2x) -> +oo , donc -e(2x)->-oo, et 1-e(2x) -> -oo
Donc le produit de "+oo" par "-oo" = "-oo"
Non 
Ghostux
Je suis d'accord
Par contre, si j'ai bien compris Ghostux, ta méthode en -oo requiert au préalable une factorisation par x non ? sous peine de tomber sur une indétermination du type "0 * oo"
Salut Nil
Pourquoi une factorisation par x ?
on a : lim xe2x = 0 ( limite usuelle)
-oo
et lim x +3 = -oo
-oo
donc lim f=-oo
-oo
Il n'y a aucune factorisation 
Salut,
et bien
lim xe2x = 0
x -> -oo
est certainement vrai, mais la limite usuelle n'est pas donnée telle qu'elle dans le cours, c'est :
lim xex = 0
x -> -oo
(c'est pour cela aussi que je changeais de variable au début )
C'est pareil 
En -oo
lim e(x) = 0
lim [e(x)]2 = lim e(2x)
e(x) = X
lim X = 0
lim X2 = lim e(2x)
lim X2 =
X->0
lim e(2x) = 0
x->-oo
donc en -oo, e(2x) et e(x) ont la même limite.
En -oo
lim e(2x) = lim e(x) et
lim x*e(2x) = lim x*e(x)
(la réciproque est fausse je crois)
Ghostux
Re bonjour
Autre moyen , il suffit de poser :
xe2x = 2xe2x/2
Et la ca devient plus évident ( puisqu'on est sous la forme XeX)
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